[论文解读] Smooth input preparation for quantum and quantum-inspired machine learning

Zhikuan Zhao, Jack Fitzsimons+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文通过证明在输入数据对小扰动具有鲁棒性时，幅值编码态制备和ℓ2-采样仅需常数次查询，展示了在一般逐元素查询模型下，量子及量子启发式机器学习算法可实现对数多对数时间复杂度。关键结果是平滑分析表明，在现实的、含噪声的机器学习设置中，高效态制备是可行的，从而消除了对Kerenidis-Prakash模型中专用数据结构的依赖。

ABSTRACT

Machine learning has recently emerged as a fruitful area for finding potential quantum computational advantage. Many of the quantum enhanced machine learning algorithms critically hinge upon the ability to efficiently produce states proportional to high-dimensional data points stored in a quantum accessible memory. Even given query access to exponentially many entries stored in a database, the construction of which is considered a one-off overhead, it has been argued that the cost of preparing such amplitude-encoded states may offset any exponential quantum advantage. Here we prove using smoothed analysis, that if the data-analysis algorithm is robust against small entry-wise input perturbation, state preparation can always be achieved with constant queries. This criterion is typically satisfied in realistic machine learning applications, where input data is subjective to moderate noise. Our results are equally applicable to the recent seminal progress in quantum-inspired algorithms, where specially constructed databases suffice for polylogarithmic classical algorithm in low-rank cases. The consequence of our finding is that for the purpose of practical machine learning, polylogarithmic processing time is possible under a general and flexible input model with quantum algorithms or quantum-inspired classical algorithms in the low-rank cases.

研究动机与目标

• 解决量子及量子启发式机器学习算法中高效输入态制备的关键挑战。
• 克服常见批评，即态制备成本可能抵消量子优势，尤其是在幅值编码在最坏情况下需要Ω(√D)次查询时。
• 证明现实机器学习算法对小逐元素扰动具有鲁棒性，使得高效制备成为可能。
• 表明在该鲁棒性假设下，量子幅值编码与经典ℓ2-采样均可通过常数次查询实现。
• 通过证明在一般输入访问下可实现对数多对数效率，消除量子启发式算法中对专用数据结构（如Kerenidis-Prakash树）的需求。

提出的方法

• 应用平滑分析以建模现实输入噪声，假设在实际中数据条目存在小扰动是典型情况。
• 定义一种通用输入模型，仅通过预言机提供对数据的逐元素访问，而非预先计算的部分和。
• 利用对∞-范数扰动（即|x′ − x|∞ ≤ ϵ）的鲁棒性可推导出幅值态制备的成功概率为常数，从而实现常数次查询。
• 利用通过受控旋转和后选择实现的量子幅值编码结构，表明在噪声下成功概率仍保持远离零。
• 将该论证扩展至量子启发式算法中的经典ℓ2-采样，表明在无需特殊数据结构的情况下可实现对数多对数时间复杂度。
• 使用平滑复杂度理论形式化论证，表明无论数据维度D如何，期望查询次数均为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在现实输入噪声下，量子幅值编码能否实现常数查询复杂度？
• RQ2 机器学习算法对小输入扰动的鲁棒性是否允许在无专用数据结构的情况下实现高效态制备？
• RQ3 量子启发式经典算法能否在不依赖Kerenidis-Prakash式数据结构的情况下实现对数多对数时间复杂度？
• RQ4 在现实噪声模型下，幅值编码的平滑复杂度是否被常数界住？
• RQ5 ∞-范数鲁棒性假设在多大程度上缓解了对昂贵预计算部分和在输入制备中的需求？

主要发现

• 对于任意对∞-范数扰动大小为ϵ具有鲁棒性的输入向量，量子幅值编码可实现与数据维度D无关的常数查询复杂度。
• 在小逐元素扰动下，通过后选择实现的态制备的成功概率保持远离零，从而确保期望查询次数为常数。
• 在相同鲁棒性假设下，即使无法访问预计算部分和，经典ℓ2-采样也可实现对数多对数时间复杂度。
• 在量子启发式算法中，由于在一般逐元素访问下可实现常数查询制备，因此无需使用如Kerenidis-Prakash树等专用数据结构。
• 幅值编码的平滑复杂度为O(1)，意味着在现实噪声模型下，期望查询次数与D无关。
• 即使输入向量包含少数大值条目，只要算法对单个条目中的小变化具有鲁棒性，该结果依然成立。