[论文解读] Smooth representations of GL_m(D) VI : semisimple types

Vincent Sécherre, Shaun Stevens|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文完成了对非阿基米德局部域上除法代数 D 的 GL_m(D) 的光滑复表示类型的理论。它为 Bernstein 分解中的每个惰性类构造了半单类型，并证明了相关的 Hecke 代数同构于类型 A 的仿射 Hecke 代数的乘积，从而通过此结构完全分类了表示范畴。

ABSTRACT

We give a complete description of the category of smooth complex representations of the multiplicative group of a central simple algebra over a locally compact nonarchimedean local field. More precisely, for each inertial class in the Bernstein spectrum, we construct a type and compute its Hecke algebra. The Hecke algebras that arise are all naturally isomorphic to products of affine Hecke algebras of type A. We also prove that, for cuspidal classes, the simple type is unique up to conjugacy.

研究动机与目标

• 完成对非阿基米德局部域上 GL_n 的内形式 GL_m(D) 的光滑复表示类型的理论。
• 通过 Bernstein 分解描述光滑表示的范畴，并为每个惰性类构造显式的类型。
• 计算与这些类型相关的球面 Hecke 代数，并证明其同构于类型 A 的仿射 Hecke 代数的乘积。
• 证明对 cuspidal 惰性类，简单类型的唯一性（模共轭）。
• 通过结构、简单特征和内类理论，将 Bushnell–Kutzko 的类型理论扩展至一般线性群的内形式。

提出的方法

• 为 GL_m(D) 中每个惰性类 [L, π]_G 构造一个类型 (K, ρ)，其中 K 为紧开子群，ρ 为 K 的不可约表示。
• 利用简单结构和简单特征，通过格序列和相关的 Hecke 代数构建类型的覆盖。
• 应用内类理论和 ps-特征的公共近似，以在 Levi 子群之间构造相容的类型。
• 利用类型之间的交错与共轭理论，确保所构造的类型生成正确的表示子范畴。
• 建立 Hecke 代数 H(G, τ) 与 H(M, λ_M) 之间的保持支撑的同构，将问题约化至更小的 Levi 子群。
• 通过简单分量数量的归纳法以及内等价中 t 的极小性，递归地构建完整的类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过类型理论完全分类 GL_m(D) 的光滑复表示范畴？
• RQ2 与 GL_m(D) 中类型相关的球面 Hecke 代数的结构是什么？
• RQ3 在 GL_m(D) 中，cuspidal 惰性类的半单类型是否唯一（模共轭）？
• RQ4 内等价的 ps-特征和简单特征的公共近似如何促进类型的构造？
• RQ5 在此设置中，出现的 Hecke 代数在多大程度上同构于类型 A 的仿射 Hecke 代数的乘积？

主要发现

• 在 GL_m(D) 的 Bernstein 谱的每个惰性类中，存在一个类型 (K, ρ)，使得具有该 cuspidal 支持的光滑表示范畴与球面 Hecke 代数 H(G, ρ) 的模范畴等价。
• 球面 Hecke 代数 H(G, ρ) 自然同构于有限个类型 A 的仿射 Hecke 代数的张量积，具体为 H(r_i, q_F^{f_i})，其中 r_i, f_i 为整数，q_F 为剩余域的基数。
• 对于 cuspidal 惰性类，简单类型在 GL_m(D) 中模共轭唯一。
• 类型的构造依赖于一种递归方法，使用格序列、简单结构和内类近似，最终实现 Hecke 代数之间的保持支撑的同构。
• Hecke 代数的结构完全由不变量 r_i, f_i 决定，这些不变量源自表示空间的分解和简单特征的内类数据。
• 本研究将 Bushnell–Kutzko 程序扩展至 GL_n 的内形式，通过类型和 Hecke 代数完全分类了 GL_m(D) 的光滑复表示。