[论文解读] Smoothness in Relative Geometry

Florian Marty|ArXiv.org|Dec 5, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过 Rezk 的工作，利用单纯对象和模型结构，在闭对称张量范畴 $\mathcal{C}$ 上的相对代数几何中，引入了光滑性的同伦推广。通过同伦有限表示性、零 Tor 维数以及对角线的同伦有限表示性来定义光滑态射，恢复了环上的经典光滑性，并证明了其在复合与同伦上积下的稳定性，同时在 $\mathbb{N}$-mod 和 $\mathrm{Set}$ 中给出了例子。

ABSTRACT

In \cite{tva}, Bertrand Toen and Michel Vaquie defined a scheme theory for a closed monoidal category $(C,\otimes,1)$. In this article, we define a notion of smoothness in this relative (and not necesarilly additive) context which generalizes the notion of smoothness in the category of rings. This generalisation consists practically in changing homological finiteness conditions into homotopical ones using Dold-Kahn correspondance. To do this, we provide the category $sC$ of simplicial objects in a monoidal category and all the categories $sA-mod$, $sA-alg$ ($a\in sComm(C)$) with compatible model structures using the work of Rezk in \cite{r}. We give then a general notions of smoothness in $sComm(C)$. We prove that this notion is a generalisation of the notion of smooth morphism in the category of rings and provide some examples of smooth morphisms in $N-alg$, $Comm(Set)$ and Comm(C).

研究动机与目标

• 将交换环中经典光滑态射的概念推广到使用同伦有限性条件的相对非加性背景。
• 在张量范畴 $\mathcal{C}$ 上的单纯交换幺半群范畴 $s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$ 中定义光滑性，扩展经典光滑性。
• 在相对设定下建立光滑态射在复合与同伦上积下的稳定性。
• 在非加性背景（如 $\mathbb{N}$-mod 和 $\mathrm{Set}$）中提供光滑态射的显式例子。
• 通过 Dold-Kahn 对应关系，统一同调有限性条件（如完美性、有限表示性）与同伦类比。

提出的方法

• 利用 Rezk 的工作，为任意 $A \in s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$ 的 $s\mathcal{C}$、$sA$-mod 和 $sA$-alg 赋予兼容的模型结构。
• 应用 Dold-Kahn 对应关系，将同调有限性条件替换为同伦条件，如同伦有限表示性。
• 通过三个条件定义光滑性：(i) $C$ 关于 $B$ 是同伦有限表示的，(ii) $C$ 关于 $B$ 的 Tor 维数为 0，(iii) $C \otimes^h_B C \to C$ 关于 $sC \otimes^h_B C$-mod 是同伦有限表示的。
• 利用链复中的完美性与单纯模的同伦有限表示性之间的对应关系（通过 Dold-Kahn）。
• 利用伴随关系 $\underline{\mathrm{Hom}}^\Delta(1,-)$，将光滑性性质从 $\mathrm{Set}$ 传递到 $s\mathrm{Set}$ 和 $s\mathbb{N}$-mod。
• 应用关于 Zariski 开浸入的结果，证明当 $A$ 是纤维化且 $f \in A_0$ 时，$A \to A_f$ 是光滑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将交换环中经典光滑态射的概念推广到非加性、相对的几何背景？
• RQ2 在相对设定下，哪些同伦条件对应于经典同调有限性条件（有限表示性、平坦性、完美性）？
• RQ3 所提出的光滑性概念在 $s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$ 中是否在复合与同伦上积下稳定？
• RQ4 能否证明仿射直线 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_1}$ 和 $\mathbb{G}_m$ 在 $\mathbb{N}$-mod 或 $\mathrm{Set}$ 中是光滑的？
• RQ5 在相对同伦框架下，何种条件下 Zariski 开浸入成为光滑的？

主要发现

• 所提出的光滑性条件在 $\mathcal{C} = \mathbb{Z}$-mod 时恢复了经典光滑性的标准判据（涉及有限表示性、平坦性与完美性），从而推广了经典光滑性。
• 在 $s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$ 中，光滑态射在复合与同伦上积下稳定，确保了良好的范畴行为。
• $\mathbb{F}_1 \to \mathbb{N}$ 在 $s\mathrm{Comm}(\mathrm{Set})$ 中是光滑的，且 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}[X]$ 在 $s\mathbb{N}$-mod 中是光滑的，提供了非加性背景下的关键例子。
• $\mathbb{A}^1_{\mathbb{N}}$ 在 $\mathbb{N}$-mod 中是光滑的，因为 $\mathbb{N}[X]$ 关于 $\mathbb{N}$ 自由，故其 Tor 维数为 0。
• $\mathbb{G}_{m,\mathbb{N}}$ 在 $\mathbb{N}$-mod 中是光滑的，因为 $\mathbb{N}[X,X^{-1}]$ 是局部化，故其关于 $\mathbb{N}$ 的 Tor 维数为 0。
• 若 $A$ 是纤维化且 $B$ 关于 $A$ 是纤维化的，则 Zariski 开浸入 $A \to B$ 是光滑的，这是由于 $hfp$ 性质与零 Tor 维数。