[论文解读] Solitary waves for nonlinear Schrödinger equation with derivative

Changxing Miao, Xingdong Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过结构分析与变分法，建立了导数非线性薛定谔方程（DNLS）孤波解的存在性、唯一性及全局适定性。证明了当 $4\omega > c^2$ 或 $4\omega = c^2, c > 0$ 时，孤波存在且在对称变换下唯一；而当 $4\omega \leq c^2$ 且 $c \leq 0$ 或 $4\omega < c^2$ 时，不存在非平凡孤波解。对于不变集 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 中的初值，全局解的存在性得以证明，优于先前的结果。

ABSTRACT

In this paper, we characterize a family of solitary waves for NLS with derivative (DNLS) by the structue analysis and the variational argument. Since (DNLS) doesn't enjoy the Galilean invariance any more, the structure analysis here is closely related with the nontrivial momentum and shows the equivalence of nontrivial solutions between the quasilinear and the semilinear equations. Firstly, for the subcritical parameters $4ω&gt;c^2$ and the critical parameters $4ω=c^2, c&gt;0$, we show the existence and uniqueness of the solitary waves for (DNLS), up to the phase rotation and spatial translation symmetries. Secondly, for the critical parameters $4ω=c^2, c\leq 0$ and the supercritical parameters $4ω0$ or $4ω&gt;c^2$. On one hand, different with the scattering result for the $L^2$-critical NLS in \cite{Dod:NLS_sct}, the scattering result of (DNLS) doesn't hold for initial data in $\mathcal{K}^+_{ω,c}$ because of the existence of infinity many small solitary/traveling waves in $\mathcal{K}^+_{ω,c},$ with $4ω=c^2, c&gt;0$ or $4ω&gt;c^2$. On the other hand, our global result improves the global result in \cite{Wu-DNLS, Wu-DNLS2} (see Corollary ef{cor:gwp}).

研究动机与目标

• 在无伽利略不变性的情况下，表征导数非线性薛定谔方程（DNLS）的孤波解。
• 确定非平凡孤波解存在或不存在的参数区域。
• 利用变分法与能量法，为初始数据属于不变集 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 的情形，建立全局解的存在性。
• 改进现有关于 $H^1(\mathbb{R})$ 中DNLS的全局适定性结果。

提出的方法

• 对DNLS方程进行结构分析，通过动量与对称性考虑，关联拟线性与半线性形式。
• 对受质量与动量约束的能量泛函应用变分论证，以识别孤波波形。
• 基于能量与动量不等式，定义不变集 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 与 $\mathcal{K}^{-}_{\omega,c}$，以控制解的行为。
• 利用质量、动量与能量的守恒律，证明 $\dot{H}^1$-范数在时间上的一致有界性。
• 采用连续性与闭包性论证，表明 $\Omega_{\omega,c}^{+} = I$，从而推出全局存在性。
• 依赖局部适定性理论与 $K_{\omega,c}$ 泛函的一致有界性，将解延拓至全局。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种参数条件下，DNLS方程允许存在非平凡孤波解？
• RQ2 缺乏伽利略不变性如何影响DNLS中孤波的结构与分类？
• RQ3 尽管存在无穷多个小孤波/行波，是否仍可在 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 中建立全局适定性？
• RQ4 当伽利略不变性被破坏时，动量在孤波变分表征中起何作用？
• RQ5 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 与 $\mathcal{K}^{-}_{\omega,c}$ 不变集与DNLS解的长时间动力学有何关联？

主要发现

• 当 $4\omega > c^2$ 或 $4\omega = c^2, c > 0$ 时，存在唯一孤波解（至多相差相位旋转与空间平移）。
• 当 $4\omega = c^2, c \leq 0$ 或 $4\omega < c^2$ 时，不存在非平凡孤波解。
• $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 在 $4\omega = c^2, c > 0$ 或 $4\omega > c^2$ 时关于DNLS流是不变的，确保了解的全局存在性。
• $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 中解的 $\dot{H}^1$-范数在时间上一致有界，结合局部适定性，意味着全局存在性。
• 由于存在无穷多个小孤波/行波，DNLS的散射结果在 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ 中不成立。
• 全局适定性结果改进了文献[34, 35]中的结果，并推广至更广泛的初值类。