[论文解读] Solitons and Rabi Oscillations in a Time-Dependent BCS Pairing Problem

Roman Barankov, Leonid Levitov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2003

Nonlinear Waves and Solitons被引用 4

一句话总结

本文为超冷费米原子气中时间依赖的BCS配对问题提供了精确解，表明库珀对的无耗散、相干动力学导致序参量Δ(t)中出现孤立子与孤立子列解。该系统表现为非线性可积模型，集体振荡对应于安德森赝自旋的拉比旋转，且孤立子在噪声和阻尼下仍保持稳定。

ABSTRACT

Motivated by recent efforts to achieve cold fermions pairing near a Feshbach resonance, we consider the dynamics of formation of the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) state. At times shorter than the quasiparticle energy relaxation time, after the interaction is turned on, the dynamics of the system is nondissipative. We show that this collective nonlinear evolution of the BCS-Bogoliubov amplitudes (u,v) along with the pairing function, is an integrable dynamical problem, and obtain a family of exact solutions in the form of single solitons and soliton trains. We interpret the collective oscillations as Bloch precession of Anderson pseudospins, where each soliton causes a pseudospin full Rabi rotation. Numerical simulations demonstrate robustness of the solitons with respect to noise and damping.

研究动机与目标

• 理解在相互作用突然开启时，超冷费米原子气中BCS配对形成的相干、无耗散动力学。
• 处理准粒子弛豫时间τε ≫ τΔ的区域，此时标准动力学或TDGL方法不再适用。
• 在突然配对相互作用淬火条件下，推导序参量Δ(t)和BCS振幅uₚ, vₚ的时间演化精确解。
• 在非线性可积框架下，建立集体振荡与安德森赝自旋拉比进动之间的联系。

提出的方法

• 通过突然开启配对相互作用λ(t) = λθ(t − t*)，构建时间依赖的BCS哈密顿量，得到一个无耗散、能量与熵守恒的系统。
• 利用安德森赝自旋表示法，将动力学映射为非线性自旋系统，将BCS方程转化为自旋极化rᵢ的布洛赫型方程。
• 引入以频率ω旋转的参考系以简化方程，得到关于r₁, r₂, r₃的耦合微分方程组。
• 通过假设r₁ = AΩ, r₂ = Bẋ, r₃ = CΩ² − D，导出精确解，将动力学简化为关于Ω(t)的单个椭圆函数方程。
• 求解所得方程 ẋ² + (Ω² − Δ⁻²)(Ω² − Δ⁺²) = 0，得到Δ(t)的周期性、孤立子样解，其中Δ⁻和Δ⁺为积分常数。
• 利用自洽条件的实部与虚部分别确定Δ⁺（通过修正的BCS间隙方程）与频率偏移ω。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无耗散、非绝热的BCS配对情景下，相互作用突然淬火时，序参量Δ(t)的精确时间演化为何？
• RQ2 库珀对的集体动力学能否被描述为非线性可积系统？若是，其精确解为何？
• RQ3 Δ(t)的振荡行为如何与旋转参考系中安德森赝自旋的拉比进动相关联？
• RQ4 序参量动力学中孤立子结构与孤子间距由什么决定？
• RQ5 孤立子解在噪声与阻尼下有多鲁棒？其在相干配对形成中的物理意义为何？

主要发现

• 在突然相互作用淬火下的时间依赖BCS问题具有精确可解性与可积性，序参量Δ(t)的解为孤立子列的周期性解。
• 当Δ⁻ ≪ Δ⁺时，解描述了一列弱重叠的孤立子，每个孤立子对应于安德森赝自旋的2π拉比旋转。
• 自洽条件通过修正的BCS间隙方程固定Δ⁺，而频率偏移ω由自洽条件的虚部确定。
• 当Δ⁻ → 0时，孤立子解退化为Volkov与Kogan的线性化振荡，与已知的无碰撞阻尼行为一致。
• 数值模拟表明，孤立子在噪声与阻尼下具有鲁棒性，表明其在真实超冷原子系统中具有物理相关性。
• 随着Δ⁻/Δ⁺从0增加到1，系统经历从弱相互作用孤立子到谐振式振荡的相变，后一极限恢复标准BCS间隙方程。