[论文解读] Solution of System of Linear Fractional Differential Equations with Modified derivative of Jumarie Type

Uttam Ghosh, Susmita Sarkar+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Fractional Differential Equations Solutions被引用 13

一句话总结

本文提出了一种解析方法，利用 Jumarie 型修改的 Riemann-Liouville 导数求解线性分数阶微分方程组。通过采用 Mittag-Leffler 函数和广义正弦、余弦函数，该方法模仿了整数阶系统经典解法的思路，实现了高效解析解，并通过多个实例进行图形验证。

ABSTRACT

Solution of fractional differential equations is an emerging area of present day research because such equations arise in various applied fields. In this paper we have developed analytical method to solve the system of fractional differential equations in-terms of Mittag-Leffler function and generalized Sine and Cosine functions, where the fractional derivative operator is of Jumarie type. The use of Jumarie type fractional derivative, which is modified Rieman-Liouvellie fractional derivative, eases the solution to such fractional order systems. The use of this type of Jumarie fractional derivative gives a conjugation with classical methods of solution of system of linear integer order differential equations, by usage of Mittag-Leffler and generalized trigonometric functions. The ease of this method and its conjugation to classical method to solve system of linear fractional differential equation is appealing to researchers in fractional dynamic systems. Here after developing the method, the algorithm is applied in physical system of fractional differential equation. The analytical results obtained are then graphically plotted for several examples for system of linear fractional differential equation.

研究动机与目标

• 开发一种求解具有 Jumarie 型分数阶导数的线性分数阶微分方程组的解析方法。
• 建立分数阶系统与利用特殊函数的经典解法之间的联系。
• 将该方法应用于物理系统，并通过图形分析验证结果。
• 展示该方法在处理分数阶动力学问题时的简洁性与有效性。

提出的方法

• 采用 Jumarie 型分数阶导数，即 Riemann-Liouville 导数的改进形式，以确保与经典解法框架的兼容性。
• 通过 Mittag-Leffler 函数和广义三角函数（正弦与余弦）构建解，以模仿整数阶系统经典解的结构。
• 利用这些特殊函数的性质，将分数阶微分方程组转化为可解的代数形式。
• 通过应用适用于 Jumarie 导数的拉普拉斯变换与反拉普拉斯变换技术，推导出解析解。
• 通过将该方法应用于物理系统并生成不同分数阶下解的图形化结果，对方法进行验证。
• 在多个实例上实现并测试该算法，验证其结果的一致性与准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Jumarie 型分数阶导数在简化线性分数阶微分方程求解方面有何作用？
• RQ2 Mittag-Leffler 函数与广义三角函数的使用在多大程度上实现了与经典解法的衔接？
• RQ3 所提出的方法能否产生准确的解析解，且便于图形化解释？
• RQ4 该方法在不同物理系统和分数阶下表现如何？

主要发现

• 该方法成功利用 Mittag-Leffler 函数与广义三角函数求解了线性分数阶微分方程组。
• Jumarie 型导数的使用确保了与经典解法技术的兼容性，提升了结果的可解释性与应用便捷性。
• 针对多个实例生成了解的图形化结果，验证了结果的有效性与稳定性。
• 该方法在不同分数阶与系统配置下均表现出计算效率高且结果一致。
• 推导出的解在整数阶极限下收敛于经典解，验证了方法的正确性。