[论文解读] Solutions to the mixed quantum Rabi model

Liwei Duan, You-Fei Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2018

Quantum Information and Cryptography被引用 2

一句话总结

本文利用 Bogoliubov 算符，对同时包含一光子和双光子相互作用的混合量子 Rabi 模型，推导出解析精确解。通过 $4\times4$ 行列式构造超越 $G$-函数，其零点对应完整的能级谱，揭示当双光子耦合强度达到 $1/2$ 时，所有能级坍缩至单一发散的负能级，而宇称对称性破缺则导致 avoided crossings，并增强有效一光子耦合。

ABSTRACT

The analytically exact solutions to the mixed quantum Rabi model including both one- and two-photon terms are found by using Bogoliubov operators. Transcendental functions in terms of $4 imes 4$ determinants responsible for the exact solutions are derived. These so-called $G$-functions with pole structure can be reduced to the previous ones in the unmixed models. The zeros of $G$-functions reproduce completely the regular spectra. The exceptional eigenvalues can be also obtained by another transcendental function. From the pole structure, we can derive two energy limits when the two-photon coupling strength tends to the collapse point $1/2$. Surprisingly, all energy levels only collapse to the lower one, which diverges negatively. All the level crossings in the unmixed models are relaxed to avoided crossings in the present mixed model due to absence of parity symmetry. Very interestingly, the effective one-photon coupling is enhanced in the presence of the two-photon coupling, which paves a highly efficient and economic way to access the deep-strong coupling regime even though the original one-photon coupling is weak.

研究动机与目标

• 推导包含一光子和双光子相互作用的混合量子 Rabi 模型的解析精确解。
• 理解谱行为，特别是双光子耦合强度接近坍缩点时的特性。
• 研究宇称对称性破缺在改变能级交叉行为与能级结构中的作用。
• 探索双光子耦合如何增强有效一光子耦合，从而实现对深层强耦合区域的访问。

提出的方法

• 采用 Bogoliubov 算符构造幺正变换，将哈密顿量解耦为可解分量。
• 通过 $4\times4$ 行列式推导出编码精确能级谱的超越 $G$-函数。
• 分析 $G$-函数的极点结构，以识别常规本征值与异常本征值。
• 研究当双光子耦合趋近于 $1/2$ 时 $G$-函数的渐近行为，揭示能级坍缩现象。
• 在谱分析中显式考虑宇称对称性的缺失，导致 avoided crossings 而非简并。
• 通过比较存在与不存在双光子项时的能级间距，量化有效一光子耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 当双光子耦合趋近于 $1/2$ 时，混合量子 Rabi 模型的精确能级如何演化？
• RQ2 $G$-函数的极点结构在确定完整谱（包括异常本征值）中起何种作用？
• RQ3 与未混合模型相比，混合模型中宇称对称性的缺失如何影响能级交叉行为？
• RQ4 双光子耦合在多大程度上增强了系统的有效一光子耦合？
• RQ5 在混合模型中，能否仅通过单个超越函数的零点重构完整谱？

主要发现

• 由 $4\times4$ 行列式导出的 $G$-函数通过其零点完全再现了常规能级谱。
• 当双光子耦合强度趋近于 $1/2$ 时，所有能级坍缩至单一发散的负能级，表明存在一个普适的坍缩点。
• 混合模型中宇称对称性的缺失使能级交叉转变为 avoided crossings，消除了简并。
• 异常本征值由一个与 $G$-函数不同的额外超越函数捕获。
• 双光子相互作用的存在增强了有效一光子耦合，即使原始耦合较弱，也能使系统进入深层强耦合区域。
• $G$-函数在未混合的一光子或双光子模型中退化为已知形式，验证了结果的一致性。