[论文解读] Solving optimal control problems governed by random Navier-Stokes equations using low-rank methods

Peter Benner, Sergey Dolgov+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 35被引用 4

一句话总结

该论文提出一种低秩张量列车（TT）方法，用于求解由具有随机输入的时间依赖型纳维-斯托克斯方程控制的最优控制问题，避免了随机伽辽金有限元方法固有的维度灾难。通过在低秩格式下表示解和线性系统，并采用具有低秩预条件的交替迭代求解器，该方法在保持分布式控制和边界控制精度的同时，将计算复杂度降低了高达9个数量级。

ABSTRACT

Many problems in computational science and engineering are simultaneously characterized by the following challenging issues: uncertainty, nonlinearity, nonstationarity and high dimensionality. Existing numerical techniques for such models would typically require considerable computational and storage resources. This is the case, for instance, for an optimization problem governed by time-dependent Navier-Stokes equations with uncertain inputs. In particular, the stochastic Galerkin finite element method often leads to a prohibitively high dimensional saddle-point system with tensor product structure. In this paper, we approximate the solution by the low-rank Tensor Train decomposition, and present a numerically efficient algorithm to solve the optimality equations directly in the low-rank representation. We show that the solution of the vorticity minimization problem with a distributed control admits a representation with ranks that depend modestly on model and discretization parameters even for high Reynolds numbers. For lower Reynolds numbers this is also the case for a boundary control. This opens the way for a reduced-order modeling of the stochastic optimal flow control with a moderate cost at all stages.

研究动机与目标

• 解决由时间依赖、非线性和随机纳维-斯托克斯方程控制的最优控制问题在计算上的不可行性。
• 克服随机伽辽金有限元方法中固有的维度灾难，该方法会产生维度极高、结构为张量的病态鞍点系统。
• 通过利用低秩张量结构，实现在标准台式计算机上高效模拟随机最优流动控制。
• 开发一种数值高效的迭代求解器，直接在低秩张量列车格式下运行，无需完整矩阵组装。
• 在不同雷诺数、随机参数维度和控制类型（分布式与边界控制）下，验证该方法的鲁棒性。

提出的方法

• 使用随机伽辽金有限元方法（SGFEM）对PDE约束优化问题进行离散化，得到高维鞍点系统。
• 将解和线性算子表示为低秩张量列车（TT）格式，以压缩完整的张量积结构。
• 开发一种交替方向最小化算法，迭代求解解的TT分量，同时保持鞍点结构。
• 基于舒尔补近似构造一个针对TT结构和纳维-斯托克斯方程非线性的低秩预条件器。
• 在每次牛顿迭代中对最优性系统进行线性化，并使用分层矩阵压缩技术以低秩格式组装雅可比矩阵。
• 应用皮卡德迭代处理非线性，同时动态监控并调整TT秩以保持低秩结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 低秩张量方法能否有效降低求解时间依赖型纳维-斯托克斯方程控制的随机最优控制问题的计算和存储成本？
• RQ2 在分布式控制和边界控制设置下，解的TT秩如何随雷诺数、随机维度和时间离散化的变化而变化？
• RQ3 在低秩框架中，最优性系统的鞍点结构在多大程度上可以被保持并加以利用？
• RQ4 与标准全秩求解器相比，低秩迭代求解器在精度和效率方面表现如何？
• RQ5 该方法能否在高维随机问题中实现显著的复杂度降低——高达9个数量级——同时保持解的精度？

主要发现

• 涡度最小化问题的解具有低秩表示，其秩即使在高雷诺数下也仅适度增长。
• 对于分布式控制，最大TT秩保持有界，CPU时间随随机参数数量呈亚线性增长，从而实现高效计算。
• 对于边界控制，TT秩和CPU时间随随机维度增加趋于饱和，表明复杂度增长稳定且可预测。
• 与全秩SGFEM相比，该方法将计算复杂度降低了高达9个数量级，使得在标准台式计算机上实现大规模随机最优控制成为可能。
• 大多数情况下皮卡德迭代次数低于10次，仅有少数例外，表明在低秩框架下非线性求解器具有良好的收敛特性。
• 与时间依赖情形相比，稳态边界控制问题的TT秩和计算时间显著减少，证实了在TT格式中避免时间推进的优势。