[论文解读] Solving the Shortest Vector Problem in $2^n$ Time via Discrete Gaussian Sampling

Divesh Aggarwal, Daniel Dadush+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2014

Cryptography and Data Security参考文献 40被引用 41

一句话总结

本文提出了一种随机化算法，通过引入一种新颖的离散高斯采样（DGS）技术，在 $2^{n+o(n)}$ 时间和空间内解决了最短向量问题（SVP）。核心贡献是提出了一种在任意参数下对 $2^{n/2}$ 个向量进行离散高斯采样的 $2^{n+o(n)}$-时间算法，从而显著降低了先前方法在 SVP、CVP 和 SIVP 问题上的运行时间，实现了显著的性能提升。

ABSTRACT

We give a randomized $2^{n+o(n)}$-time and space algorithm for solving the Shortest Vector Problem (SVP) on n-dimensional Euclidean lattices. This improves on the previous fastest algorithm: the deterministic $\widetilde{O}(4^n)$-time and $\widetilde{O}(2^n)$-space algorithm of Micciancio and Voulgaris (STOC 2010, SIAM J. Comp. 2013). In fact, we give a conceptually simple algorithm that solves the (in our opinion, even more interesting) problem of discrete Gaussian sampling (DGS). More specifically, we show how to sample $2^{n/2}$ vectors from the discrete Gaussian distribution at any parameter in $2^{n+o(n)}$ time and space. (Prior work only solved DGS for very large parameters.) Our SVP result then follows from a natural reduction from SVP to DGS. We also show that our DGS algorithm implies a $2^{n + o(n)}$-time algorithm that approximates the Closest Vector Problem to within a factor of $1.97$. In addition, we give a more refined algorithm for DGS above the so-called smoothing parameter of the lattice, which can generate $2^{n/2}$ discrete Gaussian samples in just $2^{n/2+o(n)}$ time and space. Among other things, this implies a $2^{n/2+o(n)}$-time and space algorithm for $1.93$-approximate decision SVP.

研究动机与目标

• 开发一种在 $n$-维格上求解最短向量问题（SVP）的更快算法。
• 设计一种在任意参数下均高效的离散高斯采样（DGS）算法，而不仅限于大参数。
• 改进精确与近似格问题（包括 SVP、CVP 和 SIVP）的时间与空间复杂度。
• 通过将 SVP 的指数时间复杂度从 $4^n$ 降低至 $2^n$，实现指数时间算法的突破性进展。
• 提供一种新框架，通过高效归约将 DGS 与 SVP 及其他格问题联系起来。

提出的方法

• 作者提出了一种新型 DGS 算法，可在 $2^{n+o(n)}$ 时间与空间内生成 $2^{n/2}$ 个离散高斯样本，适用于任意参数。
• 他们采用基于格上离散高斯分布的递归采样策略，利用平滑参数与尾部概率界。
• 该方法依赖于从 SVP 到 DGS 的归约，通过离散高斯采样生成短向量，并利用范数界进行过滤。
• 关键技术组件是利用离散高斯分布的尾部概率界，确保有常数比例的样本落在期望的范数范围内。
• 算法结合了拒绝采样技术与格结构，以保证正确性与效率。
• 对于高于平滑参数的性能优化，他们设计了一种改进的 DGS 算法，运行时间与空间复杂度为 $2^{n/2+o(n)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在 $2^{n+o(n)}$ 时间与空间内求解最短向量问题（SVP），从而改进先前的 $\widetilde{O}(4^n)$ 时间界？
• RQ2 是否能高效地在任意参数下执行离散高斯采样，而不仅限于大参数，以支持对格问题的新归约？
• RQ3 DGS 算法是否可用于在亚指数时间内求解近似 CVP 与 SIVP？
• RQ4 是否可以通过利用离散高斯分布的结构，降低 SVP 及相关问题的时间复杂度？
• RQ5 DGS 框架是否可被调整以在 $2^{n/2+o(n)}$ 时间内求解有界距离解码（BDD）问题？

主要发现

• 本文提出了一种在 $2^{n+o(n)}$ 时间与空间内求解最短向量问题（SVP）的算法，优于先前的 $\widetilde{O}(4^n)$-时间算法。
• 提出了一种离散高斯采样（DGS）算法，可在 $2^{n+o(n)}$ 时间与空间内生成 $2^{n/2}$ 个样本，适用于任意参数，而不仅限于大参数。
• 该算法实现了 $1.97$-近似 CVP 的 $2^{n+o(n)}$-时间解法，优于先前的指数时间界。
• 改进的 DGS 算法在高于平滑参数的参数下运行时间为 $2^{n/2+o(n)}$，从而实现了 $1.93$-近似决策 SVP 的 $2^{n/2+o(n)}$-时间算法。
• 该框架实现了 $\alpha$-有界距离解码（BDD）的 $2^{n/2+o(n)}$-时间解法，其中 $\alpha \approx 0.422 - o(1)$。
• 本文建立了从 $\gamma$-SIVP 到 $\frac{1}{2}$-DGS 的归约，其中 $\gamma = O(\sqrt{n\log n})$，可在 $2^{n/2+o(n)}$ 时间内求解。