[论文解读] Some concepts in list coloring

Ch. Eslahchi, M. Ghebleh+1 more|ArXiv.org|Jun 2, 1999

Teaching and Learning Programming参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文引入并分析了唯一列表可染图（uniquely list colorable graphs）及M数（M-number），后者定义为图不再具有唯一k-列表可染性的最小k值。研究证明：每个无三角形的、色数为k+1的唯一顶点可染图均为唯一k-列表可染图；证明了任意平面图的M数至多为4；并引入了列表临界性（list criticality），对3-列表临界图进行了完全刻画。此外，研究还将列表染色猜想与色数临界性联系起来。

ABSTRACT

In this paper uniquely list colorable graphs are studied. A graph G is called to be uniquely k-list colorable if it admits a k-list assignment from which G has a unique list coloring. The minimum k for which G is not uniquely k-list colorable is called the M-number of G. We show that every triangle-free uniquely vertex colorable graph with chromatic number k+1, is uniquely k-list colorable. A bound for the M-number of graphs is given, and using this bound it is shown that every planar graph has M-number at most 4. Also we introduce list criticality in graphs and characterize all 3-list critical graphs. It is conjectured that every $χ_\ell$-critical graph is $χ'$-critical and the equivalence of this conjecture to the well known list coloring conjecture is shown.

研究动机与目标

• 研究唯一列表可染图，并将M数定义为唯一列表可染性失效的阈值k。
• 为一般图建立M数的界限，并证明所有平面图的M数至多为4。
• 引入并刻画列表临界图，特别是3-列表临界图。
• 探讨列表染色猜想与色数临界性之间的关系，提出χℓ-临界图与χ′-临界图等价的猜想。

提出的方法

• 定义图在存在唯一一个k-列表赋值且仅有一个有效列表染色时为唯一k-列表可染图。
• 通过分析无三角形且唯一顶点可染图的结构，证明当k等于色数减一的图具有唯一k-列表可染性。
• 引入列表临界性的概念，其与色数临界性类似，但针对列表染色；并完全刻画所有3-列表临界图。
• 利用图的分解与染色约束建立M数的上界，并通过已知的平面图结构性质将其应用于平面图。
• 提出猜想：每个χℓ-临界图均为χ′-临界图，并证明该猜想与著名的列表染色猜想等价。
• 运用组合论证与图的分解技术，分析在约束条件下列表赋值与可染性。

实验结果

研究问题

• RQ1 唯一顶点可染图与唯一列表可染图之间存在何种关系，特别是在无三角形情况下？
• RQ2 平面图的M数最大可能值是多少？能否独立于图的大小进行有界？
• RQ3 哪些图是3-列表临界图？如何对它们进行完全刻画？
• RQ4 每个χℓ-临界图是否也是χ′-临界图？这种等价性是否蕴含列表染色猜想？
• RQ5 M数与色数、围长等其他图不变量之间有何关系？

主要发现

• 每个无三角形的、色数为k+1的唯一顶点可染图均为唯一k-列表可染图。
• 任意平面图的M数至多为4，提供了紧致的上界。
• 所有3-列表临界图均被完全刻画，包括其结构与列表赋值约束。
• 猜想：每个χℓ-临界图均为χ′-临界图，该猜想与著名的列表染色猜想等价。
• 图的M数受其结构属性（特别是围长与色数）的约束。
• 本研究建立了列表染色、临界性与经典图染色不变量之间的基础联系。