[论文解读] Some conjectures on congruences

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文提出了一系列关于模素数及素数幂的未证明猜想，聚焦于二项式和、卢卡斯序列、幂剩余以及二元二次型表示素数之间的联系。主要贡献在于建立了一组深刻的数论猜想，将小整数模 p 的乘法阶与源自 Z[i]、Z[√-3] 及其他环中素数分解的算术不变量联系起来。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. In the paper we collect the author's various conjectures on congruences modulo $p$ or $p^2$, which are concerned with sums of binomial coefficients, Lucas sequences, power residues and special binary quadratic forms.

研究动机与目标

• 制定并收集关于奇素数及其平方的同余关系的全面猜想集。
• 探索幂剩余、卢卡斯序列与二元二次型（如 x² + ny²）表示素数之间的深层联系。
• 将经典关于分圆和与雅克比和的结果推广至涉及高阶单位根和模条件的新同余恒等式。
• 通过涉及二项式和与雅克比符号的猜想恒等式，统一并推广关于三次和四次互反律的先前定理。

提出的方法

• 作者运用代数数论，特别是二元二次型理论和类场论，推导出关于可表示为 x² + ny² 的素数的猜想恒等式。
• 利用判别式 d = b² - 4c 的卢卡斯序列 {Uₙ(b,c)} 和 {Vₙ(b,c)} 推导关键恒等式，将其与模 p 或 p² 的同余关系联系起来。
• 论文使用雅克比符号 (·|p) 和辅助函数 δ(t) 来编码基于被 8 整除性及模约束的符号条件。
• 通过分析涉及中心二项式系数和广义超几何型项的和在模 p 或 p² 下的行为，提出猜想。
• 该方法涉及将复杂同余关系简化为指数奇偶性、被 3、5、7、13 或 17 整除性，以及 x、y、c、d 模小整数的同余类条件。
• 对所有 p < 20,000 的素数进行了数值验证，以支持猜想，尤其针对 3^(p−1)/8、5^(p−1)/8、7^(p−1)/8 和 13^(p−1)/8 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 p ≡ 13 (mod 24) 的素数，3^(p−1)/8 模 p 的值如何与以 c² + d² = x² + 3y² 表示的素数 p 的算术性质相关联，其中 c ≡ 1 (mod 4)？
• RQ2 当 p ≡ 1, 9, 25 (mod 28) 且 p = c² + d² = x² + 7y² 时，7^(p−1)/8 模 p 与参数 x、y、c、d 之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否对满足 x² + 5y² 表示的素数 p ≡ 1, 9 (mod 20) 建立同余式 5^(p−1)/8 ≡ ±(−1)^(d/4)δ(y) (mod p)？
• RQ4 和 ∑ₖ₌₀^{p−1} binom(−1/4,k)binom(−1/2,k)/mᵏ 如何与模 p² 下 p 表示为 x² + y² 或 x² + 2y² 的关系相关？
• RQ5 雅克比符号 (m(m−64)/p) 在连接超几何型和与模 p 的模形式或椭圆曲线之间起什么作用？

主要发现

• 当 p ≡ 13 (mod 24) 时，若 x ≡ ±c (mod 3)，则猜想 3^(p−5)/8 ≡ ±y/x (mod p)；若 x ≡ ±d (mod 3)，则 ≡ ∓dy/(cx) (mod p)，已验证至 p < 20,000。
• 当 p ≡ 1, 9, 25 (mod 28) 时，若 7|c，则 7^(p−1)/8 ≡ −(−1)^(y/4) (mod p)；若 7|d，则 ≡ (−1)^(y/4) (mod p)，其余情况取决于 c ≡ ±d (mod 7)。
• 当 p ≡ 1, 9 (mod 20) 时，若 x ≡ ±c (mod 5)，则 5^(p−1)/8 ≡ ±(−1)^(d/4)δ(y) (mod p)；若 x ≡ ±d (mod 5)，则 ≡ ±(−1)^(d/4)δ(y)(d/c) (mod p)。
• 当 p ≡ 1, 9, 17, 25, 29, 49 (mod 52) 时，若 (2c+3d)/x ≡ ±1, ±3, ±9 (mod 13)，则 13^(p−1)/8 ≡ ∓(−1)^(d/4)δ(y)(d/c) (mod p)；否则 ≡ ±(−1)^(d/4)δ(y) (mod p)。
• 当 p ≡ 1 (mod 4) 时，若 x ≡ ±c (mod 17)，则 17^(p−1)/8 ≡ ±(−1)^(d/4)δ(y) (mod p)；若 x ≡ ±d (mod 17)，则 ≡ ±(−1)^(d/4)δ(y)(d/c) (mod p)，在特定奇偶性与同余条件下成立。
• 若 p = x² + y² ≡ ±1 (mod 5) 且 2∤x，则 ∑ₖ₌₀^{p−1} binom(−1/4,k)binom(−1/2,k)/(-80)^k ≡ 2x − p/(2x) (mod p²)，对其他模数有类似结果。