[论文解读] Some consequences of a recursive number-theoretic relation that is not the standard interpretation of any of its formal representations

Bhupinder Singh Anand|ArXiv.org|Oct 5, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文研究了一個缺乏哥德爾形式系統 P 中標準解釋的遞歸數論關係，證明此類關係無法在標準公理集合論中一致地形式化為數學對象。主要貢獻在於顯示經典的一致性、可表達性與可計算性概念需經構造性重構，進而提出一版修正的邱奇論題，允許存在超越經典圖靈可計算性的有效可計算函數。

ABSTRACT

We give a precise definition of a formal mathematical object as any symbol for an individual constant, predicate letter, or a function letter that can be introduced through definition into a formal mathematical language without inviting inconsistency. We then show: there is an elementary, recursive, number-theoretic relation that is not a formal mathematical object, since it is not the standard interpretation of any of its representations in Goedel's formal system P; the range of a recursive number-theoretic function does not always define a (recursively enumerable set) formal mathematical object consistently in any Axiomatic Set Theory that models P; there is no P-formula, Con(P), whose standard interpretation is unambiguously equivalent to Goedel's number-theoretic definition of "P is consistent"; every recursive number-theoretic function is not strongly representable in P; Tarski's definitions of "satisfiability" and "truth" can be made constructive, and intuitionistically unobjectionable, by reformulating Church's Thesis constructively; the classical definition of Turing machines can be extended to include self-terminating, converging, and oscillating routines; a constructive Church's Thesis implies, firstly, that every partial recursive number-theoretic function can be constructively extended as a unique total function, and, secondly, that we can define effectively computable functions that are not classically Turing-computable; Turing's and Cantor's diagonal arguments do not necessarily define Cauchy sequences.

研究动机与目标

• 定義形式數學對象為任何可無矛盾引入形式語言的符號。
• 分析一個遞歸數論關係，其非哥德爾系統 P 中任何形式表達的標準解釋。
• 挑戰形式系統中的一致性、可表達性與可計算性的經典解釋。
• 以構造性方式重構塔斯基的真與滿足定義，避免非構造性假設。
• 將經典圖靈機模型擴展，納入自終止、收斂與振盪的運行模式。

提出的方法

• 精確定義形式數學對象為可一致地加入形式語言的符號（常數、謂詞或函數）。
• 分析一個特定的遞歸數論關係，其非哥德爾系統 P 中任何形式表達的標準解釋。
• 應用邱奇論題的構造性重構，以重新定義可計算性，使允許存在非經典圖靈可計算的有效可計算函數。
• 將經典圖靈機模型擴展，納入非終止、收斂與振盪的計算行為。
• 以構造性框架重新詮釋塔斯基的滿足與真之概念，避免非構造性依賴。
• 以哥德爾的形式系統 P 為基礎框架，探討形式表達與一致性的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一個遞歸數論關係，其非哥德爾系統 P 中任何形式表達的標準解釋？
• RQ2 是否存在一公式 Con(P) 在 P 中，其標準解釋明確捕捉 P 的一致性？
• RQ3 在修正的邱奇論題下，每一個部分遞歸函數是否可構造性地延拓為全函數？
• RQ4 在構造性可計算性解釋下，是否存在有效可計算函數非經典圖靈可計算？
• RQ5 在構造性框架中，圖靈與康托對角化論證是否必然定義柯西序列？

主要发现

• 存在一個遞歸數論關係，其非哥德爾系統 P 中任何形式表達的標準解釋。
• 遞歸數論函數的值域在任何一致的公理集合論模型中，不總能作為形式數學對象定義為遞歸可枚舉集合。
• 不存在一公式 Con(P) 在 P 中，其標準解釋明確等價於哥德爾的數論定義「P 是一致的」。
• 在標準解釋下，每一個遞歸數論函數在 P 中並非強可表達。
• 透過構造性重構邱奇論題，塔斯基的滿足與真之定義可被構造化，且直覺上無可非議。
• 構造性邱奇論題暗示每一個部分遞歸函數可唯一地延拓為全函數，且存在有效可計算函數非經典圖靈可計算。