[论文解读] Some Diffusion Processes Associated With Two Parameter Poisson-Dirichlet Distribution and Dirichlet Process

Shui Feng, Wei Sun|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文利用狄利克雷型式，构建了与两参数泊松-狄利克雷分布 $PD(\alpha,\theta)$ 及两参数狄利克雷过程 $\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}$ 相关的两参数对称扩散过程。证明了在概率测度空间上存在唯一一个标记扩散过程，证明了相关双线性型是可闭的，并生成一个准正则局部狄利克雷型式，从而确定了两参数弗莱明-维奥特过程的候选者。

ABSTRACT

The two parameter Poisson-Dirichlet distribution $PD(α,θ)$ is the distribution of an infinite dimensional random discrete probability. It is a generalization of Kingman's Poisson-Dirichlet distribution. The two parameter Dirichlet process $Π_{α,θ,ν_0}$ is the law of a pure atomic random measure with masses following the two parameter Poisson-Dirichlet distribution. In this article we focus on the construction and the properties of the infinite dimensional symmetric diffusion processes with respective symmetric measures $PD(α,θ)$ and $Π_{α,θ,ν_0}$. The methods used come from the theory of Dirichlet forms.

研究动机与目标

• 将无标签和有标签的无限多个中性等位基因模型推广至两参数情形，使用对称扩散过程。
• 在概率测度空间上建立两参数有标签扩散过程的存在性与唯一性。
• 证明所提出的狄利克雷型式是可闭的，并生成一个准正则局部狄利克雷型式，从而确保扩散过程的存在性。
• 严格构造具有父母无关突变的两参数弗莱明-维奥特过程的推广形式。

提出的方法

• 利用狄利克雷型式理论，构造具有对称测度 $PD(\alpha,\theta)$ 和 $\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}$ 的无穷维对称扩散过程。
• 在 $L^2(E;\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0})$ 中的柱函数稠密定义域上定义双线性型 $({\cal E},{\cal F})$，其中 $E={\cal M}_1(S)$。
• 通过利用独立同分布的 $S$-值随机变量 $\xi_s$ 的独立性，证明线性泛函 $B_{f-\nu_0(f)}$ 的有界性，从而建立型式的可闭性。
• 应用 [21, 引理 7.5 和命题 5.11] 的结果，证明闭包 $({\cal E},D({\cal E}))$ 是一个准正则局部狄利克雷型式。
• 利用 GEM 表示法和基于划分的矩母函数 $M_n(\lambda)$ 分析两参数泊松-狄利克雷分布的结构。
• 运用贝塔函数与伽马函数的渐近性质，控制积分 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$，证明其为 $O(n^{\alpha-1})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有标签的无限多个中性等位基因模型推广为两参数情形的扩散过程？
• RQ2 与两参数模型相关的双线性型是否可闭，并与一个准正则局部狄利克雷型式相关联？
• RQ3 当 $n \to \infty$ 时，矩 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ 的渐近行为如何？
• RQ4 两参数泊松-狄利克雷分布与 GEM 表示法及基于划分的矩母函数有何关系？

主要发现

• 在条件 $\alpha = -\kappa$，$\theta = m\kappa$（$\kappa > 0$，$m \in \{2,3,\dots\}$）下，双线性型 $({\cal E},{\cal F})$ 在 $L^2(E;\Pi_{\alpha,\theta,\nu_0})$ 上是可闭的。
• 闭包 $({\cal E},D({\cal E}))$ 是一个准正则局部狄利克雷型式，从而确保了在 $E={\cal M}_1(S)$ 上存在扩散过程。
• 所构造的过程是两参数弗莱明-维奥特过程（具有父母无关突变）的有力候选者。
• 矩 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu)$ 的渐近行为被控制在 $O(n^{\alpha-1})$ 以内，且该界对所有 $n$ 一致成立。
• 证明了和式 $\sum_{\lambda:|\lambda|=n} M_n(\lambda) l(\lambda)$ 为 $O(n^\alpha)$，这对证明泛函 $B_{f-\nu_0(f)}$ 的有界性至关重要。
• 证明依赖于贝塔函数的渐近性质，以及恒等式 $\int \sum_i \rho_i(1-\rho_i)^n \Pi_{\alpha,\theta,\nu_0}(d\mu) \approx C_1(\alpha,\theta) \cdot \Gamma(1-\alpha) (1+\theta+n)^{-(1-\alpha)}$，从而得到一致界 $C_2(\alpha,\theta)$。