[论文解读] Some inequalities on $h$-convex functions

Malek Abbasi, Ali Morassaei+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2020

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用 17

一句话总结

本文在线性空间的凸集上引入并表征了 $h$-凸函数，将 Jensen-Mercer 不等式推广至 $h$-凸函数，并在希尔伯特空间中建立了其算子版本。此外，还推导了 $h$-凸函数的詹森不等式互补形式，通过 $h$ 和 $f$ 在特定函数条件下的算子单调性与凸性提供界。其主要贡献在于在 $h$-凸框架下显式地推广了经典不等式，并给出了算子理论形式的表达。

ABSTRACT

In this paper, we state some characterizations of $h$-convex function is defined on a convex set in a linear space. By doing so, we extend the Jensen-Mercer inequality for $h$-convex function. We will also define $h$-convex function for operators on a Hilbert space and present the operator version of the Jensen-Mercer inequality. Lastly, we propound the complementary inequality of Jensen's inequality for $h$-convex functions.

研究动机与目标

• 通过函数不等式表征线性空间中凸集上的 $h$-凸函数。
• 将 Jensen-Mercer 不等式推广至 $h$-凸函数，推广凸函数与 $s$-凸函数的经典结果。
• 在希尔伯特空间上有界线性算子的背景下定义并分析 $h$-凸函数。
• 为 $h$-凸函数建立詹森不等式的互补不等式，提供算子理论形式的界。

提出的方法

• 通过不等式 $f(tx + (1-t)y) \leq h(t)f(x) + h(1-t)f(y)$ 定义 $h$-凸函数，其中 $t \in [0,1]$。
• 利用映射 $f_{x,y}(t) = f(tx + (1-t)y)$ 将全局 $h$-凸性简化为在 $[0,1]$ 上的 $h$-凸性。
• 应用 Davis-Choi-Jensen 不等式于算子凸函数及正规化正线性映射 $\Phi$。
• 利用 $h$-凸性与算子单调性，推导 Jensen-Mercer 不等式的算子版本。
• 通过涉及 $\mu_h, \nu_h, \mu_f, \nu_f$ 的最大函数表达式以及谱界 $m, M$ 建立界。
• 在 $\alpha g$ 具有凸性与可微性假设的条件下，推导互补不等式的紧致上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Jensen-Mercer 不等式推广至线性空间中凸集上定义的 $h$-凸函数？
• RQ2 当 $f$ 是希尔伯特空间上的 $h$-凸函数时，Jensen-Mercer 不等式的算子版本是什么？
• RQ3 如何利用算子单调性与凸性，为 $h$-凸函数推导詹森不等式的互补不等式？
• RQ4 对于涉及 $h$-凸函数与正规化正线性映射的算子不等式，其最紧致的界是什么？
• RQ5 在何种 $h$ 与 $f$ 条件下，互补不等式能给出余项的显式表达式？

主要发现

• Jensen-Mercer 不等式被推广至 $h$-凸函数，且对所有 $t \in [0,1]$，有界 $f(tx + (1-t)y) \leq h(t)f(x) + h(1-t)f(y)$ 成立。
• 在希尔伯特空间上 $h$-凸函数的 Jensen-Mercer 不等式算子版本已建立，使用了正规化正线性映射与算子凸性。
• 推导出詹森不等式的互补不等式，表明 $\sum_{j=1}^{n} h(t_j)\Phi_j(f(A_j)) \leq \alpha g(\sum t_j \Phi_j(A_j)) + \beta I_{\mathcal{K}}$，其中 $\beta$ 显式依赖于 $\mu_h, \mu_f, \nu_h, \nu_f$ 与谱界。
• 当 $\alpha g$ 严格凸且可微时，余项 $\beta$ 满足界 $\mu_h f(s) - \alpha g(s) + |\mu_h \mu_f - \alpha g'(s)|(M - m) + \nu_h(f(m) + f(M))$，其中 $s \in \{m, M\}$。
• 当 $\alpha g$ 为凹函数时，最大余项 $\beta$ 在端点 $m$ 或 $M$ 处取得，即 $\beta = \max_{s \in \{m,M\}} \{ \mu_h f(s) + \nu_h(f(m) + f(M)) - \alpha g(s) \}$。
• 对于二阶可微且严格 $h$-凸的 $f$，余项 $\beta$ 显式计算为 $\mu_h \mu_f t_0 + \mu_h \nu_f + \nu_h(f(m) + f(M)) - \alpha f(t_0)$，其中 $t_0$ 由逆导数条件确定。