[论文解读] Some integrals involving Bessel functions

M. L. Glasser, E. Montaldi|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 1993

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过以广义超几何函数表示不同阶数和参数的贝塞尔函数乘积的积分表示，推导出涉及贝塞尔函数的新定积分，随后将其简化为特例。该研究将结果与韦伯的第二类指数积分及三重贝塞尔函数乘积的拉普拉斯变换相联系，为数学物理和工程学中的应用提供了新的解析工具。

ABSTRACT

A number of new definite integrals involving Bessel functions are presented. These have been derived by finding new integral representations for the product of two Bessel functions of different order and argument in terms of the generalized hypergeometric function with subsequent reduction to special cases. Connection is made with Weber's second exponential integral and Laplace transforms of products of three Bessel functions.

研究动机与目标

• 通过高级特殊函数理论推导涉及贝塞尔函数的新定积分。
• 建立不同阶数和参数的两个贝塞尔函数乘积的积分表示。
• 将这些乘积用广义超几何函数表示，以实现系统的约化。
• 通过分析变换和恒等式匹配，将结果与已知特殊函数（如韦伯的第二类指数积分）建立联系。
• 通过三重贝塞尔函数乘积的拉普拉斯变换探索应用。

提出的方法

• 推导不同阶数和参数的两个贝塞尔函数乘积的新积分表示。
• 将所得乘积用广义超几何函数 pFq 表示。
• 应用已知的超几何函数约化公式，将结果简化为特例。
• 建立所推导积分与韦伯第二类指数积分之间的联系。
• 利用拉普拉斯变换恒等式，将结果与三重贝塞尔函数乘积关联。
• 通过解析一致性及经典分析中的已知函数恒等式验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用特殊函数表示不同阶数和参数的两个贝塞尔函数的乘积？
• RQ2 从这些表示中可推导出哪些涉及贝塞尔函数的新定积分？
• RQ3 这些积分与韦伯第二类指数积分以何种方式相关？
• RQ4 所推导的结果如何与三重贝塞尔函数乘积的拉普拉斯变换相联系？
• RQ5 这些表示对解决数学物理问题有何影响？

主要发现

• 本文利用广义超几何函数，推导出不同阶数和参数的两个贝塞尔函数乘积的新积分表示。
• 这些表示被系统性地约化为特例，从而得出涉及贝塞尔函数的新定积分。
• 通过解析变换和恒等式匹配，将结果与韦伯第二类指数积分建立联系。
• 本研究揭示了涉及三重贝塞尔函数乘积的新拉普拉斯变换恒等式。
• 所推导的积分扩展了经典分析中贝塞尔函数积分的已知闭式表达集合。
• 该工作为通过超几何函数约化技术生成更多积分提供了框架。