[论文解读] Some Liouville Theorems for the p-Laplacian

Isabeau Birindelli, Demengel, F.|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2001

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 23

一句话总结

该论文为非负弱解建立了 p-Laplacian 不等式 $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ 在 $\mathbb{R}^N$ 上的精确 Liouville 定理，其中 $h(x) \sim a|x|^\gamma$ 在 $|x|$ 较大时成立。证明表明，若 $p-1 < q \leq \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ 且 $\gamma > -p$，则当 $N > p$ 时 $u \equiv 0$，当 $N \leq p$ 时有下界解为常数，从而将经典结果推广至具有幂次权函数的非线性 p-Laplacian 设置。

ABSTRACT

We present several Liouville type results for the $p$-Laplacian in $\R^N$. Suppose that $h$ is a nonnegative regular function such that $$ h(x) = a|x|^γ { m for}\ |x|\ { m large},\ a&gt;0\ { m and}\ γ&gt; -p. $$ We obtain the following non -existence result: 1) Suppose that $N&gt;p&gt;1$, and $u\in W^{1,p}_{loc} (\R^N)\cap {\cal C} (\R^N)$ is a nonnegative weak solution of $ - { m div} (| abla u|^{p-2 } abla u) \geq h(x) u^q \;\;\mbox{in }\; \R^N $ . Suppose that $p-1&lt; q\leq {(N+γ)(p-1)\over N-p}$ then $u\equiv 0$. 2) Let $N\leq p$. If $u\in W^{1,p}_{loc} (\R^N)\cap {\cal C} (\R^N)$ is a weak solution bounded below of $-{ m div} (| abla u|^{p-2 } abla u)\geq 0$ in $\R^N$ then $u$ is constant. 3) Let $N&gt;p$ if $u$ is bounded from below and $-{ m div} (| abla u|^{p-2 } abla u)=0$ in $\R^N$ then $u$ is constant. 4)If $ -Δ_p u+h(x) u^q\leq 0, $. If $q&gt; p-1$, then $u\equiv 0$.

研究动机与目标

• 建立 $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ 在 $\mathbb{R}^N$ 上非负弱解的非存在性结果（Liouville 定理），其中 $h(x) \sim a|x|^\gamma$。
• 确定 $q$ 的最优指数阈值，超过该阈值时非平凡解可能存在。
• 将已知的 Laplacian（$p=2$）情形下的 Liouville 结果推广至一般的 $p$-Laplacian 算子。
• 分析权函数 $h(x)$ 的增长速率 $\gamma$ 及其对解行为的影响。
• 证明 $\mathbb{R}^N$ 上有界 $p$-次调和函数为常数，该结果为主要定理提供了基础。

提出的方法

• 使用在环形区域上紧支集的加权截断函数 $\zeta$ 局域化能量估计，并在弱形式中检验不等式。
• 应用 Hölder 不等式控制积分估计中涉及 $\nabla\zeta$ 和 $u$ 的低阶项。
• 通过能量估计和反向 Poincaré 型不等式推导 $|\nabla u|$ 的 $L^p$-范数估计。
• 构造满足递推不等式的迭代序列 $\phi_n$ 以控制 $L^p$-范数的增长。
• 使用 Young 不等式平衡能量估计中的各项，并在 $R \to \infty$ 时导出衰减，从而得到 $u \equiv 0$。
• 通过 $u^\alpha$（$\alpha \geq 1$）的迭代缩放，将非存在性结果扩展至初始 $q$ 范围之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $h(x) \sim a|x|^\gamma$ 时，$-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ 在 $\mathbb{R}^N$ 上无非平凡非负弱解的精确 $q$ 阈值是什么？
• RQ2 权函数 $h(x)$ 的增长速率 $\gamma$ 如何影响解的存在性或非存在性？
• RQ3 在相同的临界指数条件下，$p=2$ 情形下的非存在性结果能否推广至 $p \neq 2$ 的 $p$-Laplacian？
• RQ4 $\gamma > -p$ 条件是否对非存在性结果最优？当 $\gamma \leq -p$ 时会发生什么？
• RQ5 在 $\mathbb{R}^N$ 上 $p$-次调和函数的有界性是否蕴含其为常数？能否通过能量估计证明此结论？

主要发现

• 当 $N > p > 1$ 且 $\gamma > -p$ 时，若 $p-1 < q \leq \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$，则 $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ 的任意非负弱解 $u$ 必须恒为零。
• 当 $N \leq p$ 时，任意满足 $-\Delta_p u \geq 0$ 且有下界的弱解 $u$ 必为常数。
• 指数阈值 $q = \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ 是精确的：对于任意 $q > \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$，均存在非平凡非负解。
• 对于方程 $-\Delta_p u = |x|^\gamma u^q$，当 $p-1 < q < \frac{(N+\gamma)(p-1)+p+\gamma}{N-p}$ 且 $\gamma \geq 0$ 时，径向解恒为零，表明在径向对称下完全不存在解。
• $\gamma > -p$ 条件是最优的：当 $\gamma \leq -p$ 时，可能存在非平凡 $p$-次调和函数，如 Drábek 所示。
• 对于 $-\Delta_p u + h(x)u^q \leq 0$ 且 $q > p-1$ 的情形，结果表明对所有 $q > p-1$ 均有 $u \equiv 0$，即使无上界限制，亦可通过 $u^\alpha$ 的迭代缩放实现。