[论文解读] Some New Constructions of Quantum MDS Codes

Weijun Fang, Fang‐Wei Fu|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文通过在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上使用酉自正交的广义 Reed-Solomon (GRS) 码，提出了六类新的 $q$-元量子 MDS 码，使得最小距离超过 $\frac{q}{2}+1$。通过从乘法子群及其陪集（包括零元素）中构造求值点，相较于以往工作，实现了更长的码长和更优的参数。

ABSTRACT

It is an important task to construct quantum maximum-distance-separable (MDS) codes with good parameters. In the present paper, we provide six new classes of q-ary quantum MDS codes by using generalized Reed-Solomon (GRS) codes and Hermitian construction. The minimum distances of our quantum MDS codes can be larger than q/2+1 Three of these six classes of quantum MDS codes have longer lengths than the ones constructed in [1] and [2], hence some of their results can be easily derived from ours via the propagation rule. Moreover, some known quantum MDS codes of specific lengths can be seen as special cases of ours and the minimum distances of some known quantum MDS codes are also improved as well.

研究动机与目标

• 构建比以往已知更大的最小距离的 $q$-元量子 MDS 码家族。
• 通过在求值点集中引入零元素，扩展现有量子 MDS 码的构造。
• 基于 $\mathbb{F}_{q^2}^*$ 的乘法子群及其陪集，推广先前的结果。
• 利用传播规则改进已知量子 MDS 码的长度和最小距离参数。
• 通过 GRS 码和酉对偶性，提供一个统一的框架，用于构建具有灵活参数的量子 MDS 码。

提出的方法

• 从 $\mathbb{F}_{q^2}^*$ 的乘法子群及其陪集（包括零元素）中选取求值点，构造酉自正交的 GRS 码。
• 通过条件 $2s \mid (q+1)$ 定义码长参数 $n = r \cdot \frac{q^2 - 1}{2s}$，其中 $r = 2t + 1$。
• 应用酉构造（推论 1），将满足 $C \subseteq C^\perp_H$ 的 $[n,k,n-k+1]_{q^2}$ MDS 码转换为 $[[n,n-2k,k+1]]_q$ 量子 MDS 码。
• 通过验证子矩阵的行列式非零条件，确保在 $\mathbb{F}_q^*$ 上齐次方程组存在非平凡解。
• 利用传播规则（引理 2），从较长的码推导出距离更小的较短码。
• 当 $m \mid (qi + j + q + 1)$ 时，利用内积条件 $\langle \mathbf{a}^{qi+j}, \mathbf{v}^{q+1} \rangle = 0$，其中 $m = \frac{q^2 - 1}{2s}$，以确保酉自正交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否利用广义 Reed-Solomon 码构造最小距离大于 $\frac{q}{2}+1$ 的 $q$-元量子 MDS 码？
• RQ2 如何通过在求值点集中包含零元素，扩展现有量子 MDS 码的构造？
• RQ3 在 $r$、$s$ 和 $q$ 的何种参数条件下，$\mathbb{F}_{q^2}$ 上的酉自正交 GRS 码存在？
• RQ4 已知的量子 MDS 码在多大程度上可通过传播规则从新构造中导出？
• RQ5 该框架能否推广以包含 $\mathbb{F}_{q^2}^*$ 的乘法子群的陪集，从而增加码长和灵活性？

主要发现

• 构造了六类新的 $[[n,n-2k,k+1]]_q$ 量子 MDS 码，其中 $n = r \cdot \frac{q^2 - 1}{2s}$ 且 $r = 2t + 1$，满足 $2s \mid (q+1)$ 且 $1 \leq t \leq s-1$。
• 所有构造码的最小距离 $d = k+1$ 均超过 $\frac{q}{2}+1$，优于以往受限于 $d \leq \frac{q}{2}+1$ 的构造。
• 当 $r \geq 4$ 时，推论 7 中允许的最大 $k$ 超过 Zhang 和 Ge [1] 的结果，从而获得最小距离更大的码。
• 部分来自 [1]、[2] 和 [24] 的已知量子 MDS 码，通过传播规则可视为所提构造的特例。
• 当 $r=7$、$s=4$ 且 $8 \mid (q+1)$ 时，构造可生成 $[[\frac{7}{8}(q^2-1), \frac{7}{8}(q^2-1)-2k, k+1]]_q$ 码，其中 $1 \leq k \leq \frac{7}{8}(q+1) - 2$。
• 通过非零的 $(r-2) \times (r-2)$ 子式，保证了方程组 $M\mathbf{u}^T = \mathbf{0}^T$ 存在非平凡解，从而确保了酉自正交性。