[论文解读] Some remarks on conic degeneration and bending of Poincaré-Einstein metrics

Rafe Mazzeo, Michael A. Singer|ArXiv.org|Sep 10, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在紧致凯勒爱因斯坦流形（正第一陈类）上线丛的全空间上，构造了显式的一参数族庞加莱-爱因斯坦度量。通过使用Page-Pope试探法，展示了锥形退化（极限为具有锥形奇点的度量）和弯曲（零截面处的边奇异点）现象，提供了在非积、非双曲设定下此类行为的首批显式例子，并揭示了一个具有固定共形无穷远结构但不同于标准球面结构的度量族。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a compact Kähler-Einstein manifold with $c_1 > 0$. Denote by $K o M$ the canonical line-bundle, with total space $X$, and $X_0$ the singular space obtained by blowing down $X$ along its zero section. We employ a construction by Page and Pope and discuss an interesting multi-parameter family of Poincaré--Einstein metrics on $X$. One 1-parameter subfamily $\{g_t\}_{t>0}$ has the property that as $t\searrow 0$, $g_t$ converges to a PE metric $g_0$ on $X_0$ with conic singularity, while $t^{-1}g_t$ converges to a complete Ricci-flat Kähler metric $\hat{g}_0$ on $X$. Another 1-parameters subfamily has an edge singularity along the zero section of $X$, with cone angle depending on the parameter, but has constant conformal infinity. These illustrate some unexpected features of the Poincaré-Einstein moduli space.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒爱因斯坦流形（$c_1 > 0$）上线丛的全空间上，显式构造庞加莱-爱因斯坦度量族。
• 分析这些度量在极限下的行为，特别是锥形退化和边奇异点的形成。
• 研究庞加莱-爱因斯坦度量的模空间，尤其关注奇异极限和固定共形无穷远结构的作用。
• 提供具体例子，以启发更广泛的爱因斯坦度量奇异极限的解析粘合构造。

提出的方法

• 利用Page-Pope试探法，在线丛 $L \to M$ 的全空间 $X$ 上构造了一类多参数的庞加莱-爱因斯坦度量族。
• 采用径向坐标 $\rho$ 和一个满足二阶常微分方程的函数 $U(\rho)$ 来定义度量试探。
• 分析参数 $t \searrow 0$ 和 $r_1 \to 1$ 的极限，表明度量收敛至具有锥形奇点或边奇异点的庞加莱-爱因斯坦度量。
• 通过缩放 $t^{-1}g_t$ 得到极限下的里奇平坦凯勒度量，其在零截面附近具有显式渐近行为。
• 利用共形无穷远 $[\gamma_0]$ 比较边界结构，特别关注 $k=1$ 和 $k=n+1$ 的情形。
• 应用命题3.1，验证当锥角参数 $\alpha \neq 1$ 时，边奇异点的形成。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在非双曲、非积空间中显式构造并分析庞加莱-爱因斯坦度量的锥形退化？
• RQ2 庞加莱-爱因斯坦度量族是否会在余维数为二的子流形上表现出弯曲现象？其几何与分析条件是什么？
• RQ3 是否存在一个一参数族的庞加莱-爱因斯坦度量，其共形无穷远结构固定但不同于标准球面结构？
• RQ4 极限下的锥形奇点庞加莱-爱因斯坦空间是否在某种意义下退化，即是否允许 $L^2$ 的线性化爱因斯坦算子的雅可比场？
• RQ5 显式例子是否能为锥形退化爱因斯坦度量的解析粘合构造中的障碍提供启示？

主要发现

• 一维子族 $\{g_t\}_{t>0}$ 在压缩零截面后收敛至全空间 $X_0$ 上的庞加莱-爱因斯坦度量 $g_0$，其在奇点轨迹上具有锥形奇点。
• 缩放后的度量 $t^{-1}g_t$ 收敛至原全空间 $X$ 上的完备里奇平坦凯勒度量 $\hat{g}_0$。
• 另一族一维子族在零截面上表现出边奇异点，其锥角随 $r_1$ 从1增至$\infty$ 而从 $2\pi(n+1)/k$ 增至 $\infty$。
• 当 $k=n+1$ 时，边奇异点庞加莱-爱因斯坦度量族与退化光滑族具有相同的共形无穷远结构，但共形结构不同，暗示在小扰动下不存在光滑的庞加莱-爱因斯坦填充。
• 标准双曲度量 $B^{2n+2}$ 作为锥形极限出现，对应 $\Lambda = -2n-1$，$c=1$，且 $r_1 \searrow 1$。
• 当 $U(\rho) = 1$ 时，$g_t/t$ 的极限恢复了 $\mathbb{R}^{2n+2}$ 上的平坦度量，对应里奇平坦凯勒极限。