[论文解读] Some results on the reduced power graph of a group

R. Rajkumar, T. Anitha|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文研究了有限群与扭群的约化幂图及其恰当变体，刻画了其结构性质，如团数、色数、围长、连通性、直径和连通分支结构。关键结果表明，有限群的约化幂图是完美的，且恰当约化幂图的连通分支数与直径完全由群的最大阶为素数的循环子群及西罗子群决定。

ABSTRACT

The reduced power graph $\mathcal{RP}(G)$ of a group $G$ is the graph with vertex set $G$ and two vertices $u$ and $v$ are adjacent if and only if $\left\langle v ight angle \subset \left\langle u ight angle $ or $\left\langle u ight angle \subset \left\langle v ight angle $. The proper reduced power graph $\mathcal{RP}^*(G)$ of $G$ is the subgraph of $\mathcal{RP}(G)$ induced on $G\setminus \{e\}$. In this paper, we classify the finite groups whose reduced power graph (resp. proper reduced power graph) is one of complete $k$-partite, acyclic, triangle free or claw-free (resp. complete $k$-partite, acyclic, triangle free, claw-free, star or tree). In addition, we obtain the clique number and the chromatic number of $\mathcal{RP}(G)$ and $\mathcal{RP}^*(G)$ for any torsion group $G$. Also, for a finite group $G$, we determine the girth of $\mathcal{RP}^*(G)$. Further, we discuss the cut vertices, cut edges and perfectness of these graphs. Then we investigate the connectivity, the independence number and the Hamiltonicity of the reduced power graph (resp. proper reduced power graph) of some class of groups. Finally, we determine the number of components and the diameter of $\mathcal{RP}^*(G)$ for any finite group $G$.

研究动机与目标

• 分类约化幂图或恰当约化幂图为完全k-分图、无环、无三角形或无爪图的有限群。
• 确定任意扭群的约化幂图的团数与色数。
• 分析特定群类中这些图的围长、连通性、独立数与哈密顿性。
• 为任意有限群建立恰当约化幂图的连通分支数与直径。
• 研究有限群的约化幂图的割点、割边与完美性。

提出的方法

• 本文将群G的约化幂图定义为：若两个元素的循环子群嵌套（即⟨u⟩ ⊆ ⟨v⟩ 或 ⟨v⟩ ⊆ ⟨u⟩），则在它们之间连边。
• 研究恰当约化幂图为在G\{e}上的诱导子图，即排除单位元。
• 通过扭群中循环子群结构与元素阶的性质，推导出团数与色数。
• 计算RP*(G)的连通分支数为 c(P*(G)) + ∑ₚ|G mₚ(p−2)，其中mₚ表示阶为p的最大循环子群的数量。
• 证明RP(G)的直径为1当且仅当G ≅ ℤ₂，否则为2；对于RP*(G)，当G ≅ ℤₚⁿ且n ≥ 2时直径为2，当G ≅ ℤₚ时为∞，否则等于diam(P*(G))。
• 利用子群格与循环子群嵌套关系，分析图论性质如无环性、无爪性与完美性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限群，其约化幂图为完全k-分图、无环、无三角形或无爪图？
• RQ2 任意扭群的约化幂图的团数与色数为何？
• RQ3 有限群的恰当约化幂图的围长是多少？
• RQ4 有限群的恰当约化幂图有多少个连通分支，其直径是多少？
• RQ5 恰当约化幂图在何时连通，何时不连通且直径为无穷？

主要发现

• 有限群G的恰当约化幂图满足 c(RP*(G)) = c(P*(G)) + ∑ₚ|G mₚ(p−2)，其中mₚ为阶为p的最大循环子群的数量。
• RP(G)的直径为1当且仅当G ≅ ℤ₂，否则为2，这是由于单位元与所有其他顶点相邻。
• 当G ≅ ℤₚⁿ且n ≥ 2时，RP*(G)的直径为2；当G ≅ ℤₚ（素数阶）时，直径为∞；否则等于diam(P*(G))。
• 任何有限群的约化幂图均为完美图，且非环图；仅在特定群结构下，RP(G)与RP*(G)同时为无爪图与无环图。
• 对有限群而言，RP*(G)连通当且仅当G是幂零群，且其西罗子群为循环群或广义四元数群，且G ≇ ℤₚ。
• 在阶为n的群的约化幂图中，团数与色数的最大值由ℤₙ实现；恰当约化幂图的最大值由ℤₙ*实现。