[论文解读] Some Spatial Point Processes of Poisson Family

Pradeep Vishwakarma|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2026

Point processes and geometric inequalities被引用 0

一句话总结

本文引入广义泊松随机场（GPRF）及其分数变体，以及稀释、空间Skellam型过程和正象限上的分数GPRF。

ABSTRACT

Spatial Poisson point processes on finite-dimensional Euclidean space provide fundamental mathematical tools for modeling random spatial point patterns. In this paper, we introduce and analyze several Poisson-type spatial point processes. In particular, we propose and study a point process, namely, the generalized Poisson random field (GPRF), in which more than one point can be observed with positive probability, within a rectangular region having infinitesimal Lebesgue measure. A thinning of the GPRF into independent GPRFs with reduced rate parameters is discussed. Furthermore, we consider these processes indexed by the positive quadrant of the plane and analyze their fractional variants. Various distributional properties of these processes and related governing differential equations are obtained. Later, we define and analyze a spatial Skellam-type point process via GPRF. Moreover, a fractional variant of it in the two parameter case is studied in detail.

研究动机与目标

• 激励并建立允许在无限小区域内出现多点的泊松型空间点过程。
• 引入并分析广义泊松随机场（GPRF）及其结构表述。
• 研究GPRF的稀释成独立分量及其含义。
• 推广到具有两个参数的二维空间设定，并通过反向子随机过程和Caputo导数发展分数变体。
• 定义并分析由GPRF构建的空间Skellam型过程，并探讨其分数变体。

提出的方法

• 用分布Pr{M(A)=n} = sum_{Theta(k,n)} prod_{j=1}^k ((λ_j|A|)^n_j / n_j!) e^{-λ_j|A|}来定义 M(A)。
• 证明 M(A) 在分布上等价于独立PRF的加权和，并获得复合泊松表示。
• 推导 pgf G(z,A) = E[z^{M(A)}] = exp(sum_{j=1}^k λ_j|A|(z^j-1))及相关矩（E[M(A)], Var[M(A)], Cov(M(A),M(B))）。
• 在 R^2_+ 上开发具有矩形增量的两参数GPRF，给出无穷小分布（2.2）及均值/协方差结构。
• 通过独立的反向稳定子随机过程时间改变来形成分数GPRF FGPRF，使通过广义 Wright 函数（2.2）及相关性质得到 p^{α,β}(n,s,t)。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个允许在无限小区域内出现多点的空间计数过程（GPRF），以及它的基本分布性质是什么？
• RQ2 对GPRF进行稀释会如何改变其结构，是否可以将稀释过程表示为具有降低速率的独立GPRF？
• RQ3 GPRF 在 R^2_+ 上的支配微分方程与分布特征（pgf、矩）是什么？
• RQ4 如何使用反向子随机过程与Caputo导数定义并分析GPRF的分数变体？
• RQ5 如何通过GPRF定义并研究空间Skellam型过程及其分数变体？

主要发现

• 广义泊松随机场（GPRF）M(A)的PMF Pr{M(A)=n} = sum_{Theta(k,n)} prod_{j=1}^k ((λ_j|A|)^{n_j}/n_j!) e^{-λ_j|A|}。
• pgf 为 G(z,A)=exp(sum_{j=1}^k λ_j|A|(z^j-1)）；均值与方差为 E[M(A)]=sum_{j=1}^k j λ_j|A|，Var[M(A)]=sum_{j=1}^k j^2 λ_j|A|，Cov(M(A),M(B))=sum_{j=1}^k j^2 λ_j|A∩B|。
• 在 R^2_+ 上，M(s,t) 是具有矩形增量的二维 Lévy 过程，其无穷小分布呈 Theta(k,n) 形式，且具有相应的均值/方差结构，其pgf为 G(z,s,t)=exp(sum_{j=1}^k λ_j st (z^j-1))。
• 分数变体 FGPRF M^{α,β}(s,t) 通过独立的反向稳定子随机过程定义；其状态概率 p^{α,β}(n,s,t) 由 Θ(k,n) 的项组成，包含广义 Wright 函数 {}_2Ψ_2 及参数（α,β）。
• 稀释结果扩展到GPRF和两参数PRF，产生具有降低速率的独立分量；稀释和仍保持泊松型独立性。
• 构建一个空间Skellam型过程 S(A)=sum_{i∈I} i M_i(A)，来自独立的GPRF，并对其有限维和分数变体进行分析。