[论文解读] SOSOPT: A Toolbox for Polynomial Optimization

Peter Seiler|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 22被引用 40

一句话总结

SOSOPT 是一个 MATLAB 工具箱，可将和为平方（SOS）多项式优化问题转化为标准半正定规划（SDP）问题，从而实现高效求解。该工具箱通过将 SOS 约束高效转换为 SDP 形式，支持 SOS 检测、可行性问题、标准优化及广义 SOS 问题的求解，利用 SeDuMi 和 multipoly 工具箱实现多项式操作与解的验证。

ABSTRACT

SOSOPT is a Matlab toolbox for formulating and solving Sum-of-Squares (SOS) polynomial optimizations. This document briefly describes the use and functionality of this toolbox. Section 1 introduces the problem formulations for SOS tests, SOS feasibility problems, SOS optimizations, and generalized SOS problems. Section 2 reviews the SOSOPT toolbox for solving these optimizations. This section includes information on toolbox installation, formulating constraints, solving SOS optimizations, and setting optimization options. Finally, Section 3 briefly reviews the connections between SOS optimizations and semidefinite programs (SDPs). It is the connection to SDPs that enables SOS optimizations to be solved in an efficient manner

研究动机与目标

• 提供一个用户友好的 MATLAB 工具箱，用于构建和求解和为平方（SOS）多项式优化问题。
• 通过将 SOS 约束自动转换为 SDP 形式，弥合多项式优化与半正定规划（SDP）之间的鸿沟。
• 支持多种优化类型，包括 SOS 检测、可行性问题、标准 SOS 优化以及广义 SOS 程序。
• 通过可配置的可行性检查确保解的可靠性，包括对 Gram 矩阵分解的完整验证和约束满足性检查。
• 通过与成熟的 SDP 求解器（如 SeDuMi、SDPT3 和 CSDP）接口，实现高效计算。

提出的方法

• 使用 multipoly 工具箱表示和操作多变量多项式，并定义多项式约束。
• 重载关系运算符（<=、>=、==）以创建 SOS 和等式约束，返回 polyconstr 对象用于约束管理。
• 通过 Gram 矩阵分解将 SOS 约束转换为线性矩阵不等式（LMI）约束，从而将 SOS 可行性问题转化为 SDP 形式。
• 将每个 SOS 约束表示为一个半正定矩阵，其决策变量和矩阵元素受线性等式约束。
• 通过 sosoptions 对象支持原始（图像）和对偶（核）SDP 形式，提升求解器灵活性。
• 对广义 SOS 问题采用二分法和可行性检查，因其在决策变量中包含双线性项而呈现拟凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 MATLAB 等高级环境中高效构建和求解和为平方多项式优化问题？
• RQ2 在保持数值精度的前提下，将 SOS 约束转换为等价半正定规划（SDP）问题的最有效方法是什么？
• RQ3 尽管具有非凸结构，如何高效求解包含双线性约束的广义 SOS 问题？
• RQ4 在存在数值误差的情况下，验证 SOS 解可行性的最可靠方法是什么？
• RQ5 如何设计一个工具箱，以统一且可扩展的框架支持多种优化类型（检测、可行性、优化、广义）？

主要发现

• SOSOPT 成功地将 SOS 多项式优化问题转换为等价的半正定规划（SDP）问题，使标准 SDP 求解器能够高效求解。
• 该工具箱支持四种主要问题类型：SOS 检测、SOS 可行性、标准 SOS 优化以及广义 SOS 优化，均通过一致的接口实现。
• 广义 SOS 问题虽在决策变量中为双线性，但具有拟凸性，可通过在标量变量 t 上使用二分法高效求解。
• 可行性检查可配置：'fast' 选项使用求解器提供的可行性信息，'full' 选项则在容差范围内验证 Gram 矩阵的正定性及系数匹配。
• 该工具箱已与 SeDuMi、SDPT3 和 CSDP 进行测试，其中 SeDuMi 的验证最为充分。
• 从 SDP 输出中重建解包括最优决策变量和 Gram 矩阵分解，确保解的正确性与多项式形式的可解释性。