[论文解读] Space-time Euler discretization schemes for the stochastic 2D Navier-Stokes equations

Hakima Bessaih, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 11

一句话总结

该论文为在环面上的随机二维纳维-斯托克斯方程，建立了隐式时间欧拉格式与有限元空间半径离散化相结合的 $L^2(\Omega)$ 强收敛性。通过利用解的指数矩估计与局部化收敛分析，证明了在加性噪声和 Scott-Vogelius 混合有限元下的多项式收敛速率，改进了以往仅建立概率收敛性的结果。

ABSTRACT

We prove that the implicit time Euler scheme coupled with finite elements space discretization for the 2D Navier-Stokes equations on the torus subject to a random perturbation converges in $L^2(\\Omega)$, and describe the rate of convergence for an $H^1$-valued initial condition. This refines previous results which only established the convergence in probability of these numerical approximations. Using exponential moment estimates of the solution of the stochastic Navier-Stokes equations and convergence of a localized scheme, we can prove strong convergence of this space-time approximation. The speed of the $L^2(\\Omega)$-convergence depends on the diffusion coefficient and on the viscosity parameter. In case of Scott-Vogelius mixed elements and for an additive noise, the convergence is polynomial.

研究动机与目标

• 为随机二维纳维-斯托克斯方程的空间-时间数值格式建立 $L^2(\Omega)$ 强收敛性，克服以往仅获得概率收敛性的局限。
• 在加性噪声条件下，推导完全隐式时间欧拉格式与有限元空间离散化相结合的显式多项式收敛速率。
• 将解的指数矩估计推广至具有 $V$-范数指数矩的随机初始条件，以支持更强的收敛性分析。
• 通过满足混合有限元的离散 LBB 条件（特别是 Scott-Vogelius 元素），确保离散格式的稳定性。
• 通过局部化非线性项并控制大概率集上的高阶范数，对收敛性分析进行精细化处理。

提出的方法

• 采用时间步长为 $\frac{T}{N}$ 的隐式时间欧拉格式与参数为 $h$ 的有限元空间离散化，以逼近随机二维纳维-斯托克斯方程。
• 应用局部化技术控制非线性项，使在概率设定下可应用 Gronwall 引理，从而推导出 $L^2(\Omega)$ 收敛性。
• 利用 Itô 公式与适当选取的共轭指数，通过 Hölder 不等式推导出解 $u$ 与时间离散格式 $\mathbf{u}^l$ 的指数矩估计。
• 在集合 $\tilde{\Omega}_l(M)$ 上实施局部化收敛分析，其中 $\mathbf{u}^l$ 的 $W^{1,2}$-范数有界，从而确保误差在 $L^2(\Omega)$ 意义下的控制。
• 采用 Scott-Vogelius 混合有限元方法以满足离散 inf-sup 条件，确保速度-压力逼近的稳定性。
• 依赖于加性噪声下解具有指数矩这一事实，该性质在证明强收敛性及获得显式多项式收敛速率中起关键作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐式时间欧拉格式与有限元空间离散化能否实现随机二维纳维-斯托克斯方程在 $L^2(\Omega)$ 范数下的强收敛性？
• RQ2 在 $H^1$-值初始条件下，该空间-时间格式的 $L^2(\Omega)$ 收敛速率是多少？
• RQ3 解与格式的指数矩估计如何在非线性项存在下支持强收敛性的证明？
• RQ4 扩散系数与粘性系数对 $L^2(\Omega)$-范数收敛速率有何影响？
• RQ5 在加性噪声下使用 Scott-Vogelius 混合有限元时，收敛速率能否显式量化？

主要发现

• 该空间-时间离散化格式在 $H^1$-值初始条件下，实现了随机二维纳维-斯托克斯方程在 $L^2(\Omega)$ 范数下的强收敛性。
• 在加性噪声与 Scott-Vogelius 混合有限元条件下，收敛速率在时间步长 $\frac{T}{N}$ 与空间参数 $h$ 上为多项式形式。
• 建立了 $\|u(t)\|_V^2$ 与 $\|\mathbf{u}^l\|_V^2$ 的解与时间离散格式的指数矩估计，使在收敛性证明中可应用 Hölder 不等式。
• 收敛速率依赖于粘性系数 $\nu$、扩散系数 $K_0$ 以及维纳过程协方差算子 $Q$ 的迹。
• 对于在 $V$-范数下具有指数矩的随机初始条件，当参数满足 $\alpha < \tilde{\beta}_0 = \tilde{\alpha}_0 \frac{\gamma_0}{\gamma_0 + \tilde{\alpha}_0}$ 时，离散解的指数矩保持有界。
• 证明依赖于在 $W^{1,2}$-范数受控的大概率集合上进行的局部误差估计，从而可在非线性背景下应用 Gronwall 引理。