[论文解读] Spanning trees in complete bipartite graphs and resistance distance in nearly complete bipartite graphs

Jun Ge, Fengming Dong|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Graph theory and applications参考文献 22被引用 27

一句话总结

本文推导出近乎完全二分图 $G(m,n,p) = K_{m,n} - pK_2$ 中生成树数量和有效电阻的精确公式，扩展了关于完全二分图的经典结果。利用电路网络理论和基尔霍夫定律，将 Moon 的生成树公式推广至包含匹配或树的情形，并计算了 $G(m,n,p)$ 的基尔霍夫指数，给出了 $\tau(G(m,n,p)) = (mn - m - n + p)(mn - m - n)^{p-1}m^{n-p-1}n^{m-p-1}$ 的闭式表达式。

ABSTRACT

Using the theory of electrical network, we first obtain a simple formula for the number of spanning trees of a complete bipartite graph containing a certain matching or a certain tree. Then we apply the effective resistance (i.e., resistance distance in graphs) to find a formula for the number of spanning trees in the nearly complete bipartite graph $G(m,n,p)=K_{m,n}-pK_2$ $(p\leq \min\{m,n\})$, which extends a recent result by Ye and Yan who obtained the effective resistances and the number of spanning trees in $G(n,n,p)$. As a corollary, we obtain the Kirchhoff index of $G(m,n,p)$ which extends a previous result by Shi and Chen.

研究动机与目标

• 将 Moon 在完全二分图中关于生成树的公式推广至包含固定匹配或树的情形。
• 计算近乎完全二分图 $G(m,n,p) = K_{m,n} - pK_2$（其中 $p \leq \min\{m,n\}$）的生成树数量。
• 利用有效电阻公式，将基尔霍夫指数的计算从 $G(n,n,p)$ 推广至一般情形 $G(m,n,p)$。
• 建立一种系统化方法，通过网络简化与对称性，计算 $G(m,n,p)$ 中所有顶点对之间的有效电阻。

提出的方法

• 应用电路网络理论，将边建模为单位电阻，并以有效电阻作为度量指标。
• 使用基尔霍夫电流定律与电压定律、欧姆定律，以及串并联电阻规则推导电阻关系。
• 采用定理 2.4，将有效电阻与生成树比值关联：$R_{uv} = \tau(G/\{u,v\}) / \tau(G)$。
• 通过定理 5.3（顶点对电阻恒等式）的对称性与线性方程组推导电阻公式。
• 求解包含 8 个方程与 11 个未知数的线性方程组，以确定 $G(m,n,p)$ 中所有顶点对之间的电阻。
• 利用 $R_{x_i y_j}$ 的电阻公式，通过 $\tau(G) = \tau(G/\{x_{p+1},y_{p+1}\}) / R_{x_{p+1}y_{p+1}}$ 推导生成树数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \leq \min\{m,n\}$ 时，$K_{m,n} - pK_2$ 中的生成树数量是多少？
• RQ2 在 $G(m,n,p)$ 中，顶点对之间的有效电阻如何依赖于缺失匹配的结构？
• RQ3 能否将 Moon 关于包含森林的生成树公式的结论推广至具有固定匹配或树的二分图？
• RQ4 $G(m,n,p)$ 的基尔霍夫指数是什么？它如何推广先前关于 $G(n,n,p)$ 的结果？
• RQ5 在 $G(m,n,p)$ 中，任意两个顶点之间的精确电阻是多少，特别是当其中一个或两个顶点位于缺失匹配中时？

主要发现

• 在 $G(m,n,p) = K_{m,n} - pK_2$ 中，生成树数量为 $\tau(G(m,n,p)) = (mn - m - n + p)(mn - m - n)^{p-1}m^{n-p-1}n^{m-p-1}$。
• 同一部分集内顶点间的有效电阻为：当 $i,j \in [p]$ 时，$R_{x_i x_j} = \frac{2(m-1)}{mn - m - n}$；当 $i,j \in [m]\setminus[p]$ 时，$R_{x_i x_j} = \frac{2}{n}$；混合对则有更复杂的表达式。
• 缺失匹配中顶点 $x_i$ 与 $y_j$（其中 $i=j \in [p]$）之间的电阻为 $R_{x_i y_i} = \frac{m+n}{mn - m - n} - \frac{mn}{(mn - m - n)(mn - m - n + p)}$。
• 非相邻顶点 $x_i \in [p]$ 与 $y_j \in [n]\setminus[p]$ 之间的电阻为 $R_{x_i y_j} = \frac{1}{m} + \frac{(p-1)(m-1)}{p(mn - m - n)} + \frac{(m-p)(m-1)}{pm(mn - m - n + p)}$。
• $G(m,n,p)$ 的基尔霍夫指数具有涉及 $m,n,p$ 以及 $mn - m - n$ 的有理函数的闭式表达式，推广了 Shi 和 Chen 对 $m=n$ 的结果。
• 有效电阻 $R_{uv}$ 与电压源大小无关，确认其作为图度量的角色。