[论文解读] Sparse exchangeable graphs and their limits via graphon processes

Christian Borgs, Jennifer Chayes+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 31被引用 46

一句话总结

本文引入图函数过程——一种基于σ-有限测度空间上的泊松点过程构建的稀疏交换图的随机族，其边概率由可积图函数W控制。关键结果是此类过程表现出收敛的子图频率，并在广义切割度量下收敛于其生成的图函数，且图函数仅能通过切割距离等价性唯一确定。

ABSTRACT

In a recent paper, Caron and Fox suggest a probabilistic model for sparse graphs which are exchangeable when associating each vertex with a time parameter in R+. Here we show that by generalizing the classical definition of graphons as functions over probability spaces to functions over σ-finite measure spaces, we can model a large family of exchangeable graphs, including the Caron-Fox graphs and the traditional exchangeable dense graphs as special cases. Explicitly, modelling the underlying space of features by a σ-finite measure space (S, S, µ) and the connection probabilities by an integrable function W : S × S → [0, 1], we construct a random family (Gt)t≥0 of growing graphs such that the vertices of Gt are given by a Poisson point process on S with intensity tµ, with two points x, y of the point process connected with probability W(x, y). We call such a random family a graphon process. We prove that a graphon process has convergent subgraph frequencies (with possibly infinite limits) and that, in the natural extension of the cut metric to our setting, the sequence converges to the generating graphon. We also show that the underlying graphon is identifiable only as an equivalence class over graphons with cut distance zero. More generally, we study metric convergence for arbitrary (not necessarily random) sequences of graphs, and show that a sequence of graphs has a convergent subsequence if and only if it has a subsequence satisfying a property we call uniform regularity of tails. Finally, we prove that every graphon is equivalent to a graphon on R+ equipped with Lebesgue measure.

研究动机与目标

• 将经典图函数理论推广至稀疏图，通过将基础测度空间从概率空间推广至σ-有限测度空间。
• 利用σ-有限测度空间上的泊松点过程，对交换稀疏图（包括Caron-Fox模型）进行建模。
• 在该广义设定下，建立图序列的子图频率收敛性与度量收敛性。
• 通过尾部一致正则性的概念，刻画图序列是否存在收敛子序列的条件。
• 证明每个图函数均等价于在R+上配备勒贝格测度定义的图函数，从而实现典范表示。

提出的方法

• 将图函数过程定义为随机族(Gt)t≥0，其中顶点通过σ-有限测度空间(S, S, µ)上的泊松点过程生成，强度为tµ。
• 指定顶点x与y之间形成边的概率为W(x, y)，其中W: S × S → [0, 1]为可积函数。
• 将切割度量推广至σ-有限测度空间，以定义图序列的收敛性。
• 证明在该广义度量下，图函数过程中的子图频率收敛，极限可能为无穷大。
• 引入尾部一致正则性的概念，作为任意图序列中子序列收敛的充要条件。
• 证明每个图函数在切割距离下均等价于在R+上配备勒贝格测度定义的图函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将图函数的推广应用于概率空间之外的更一般设定，以建模交换稀疏图？
• RQ2 在稀疏交换图模型中，如何建立子图频率的收敛性？
• RQ3 在广义设定下，何种条件可确保任意图序列的度量收敛性？
• RQ4 图函数过程的生成图函数是否可识别？若可识别，其等价性在何种意义下成立？
• RQ5 在切割距离下，是否每个图函数均可等价地表示为在R+上配备勒贝格测度的图函数？

主要发现

• 在σ-有限测度空间上定义的可积图函数W的图函数过程中，子图频率收敛，即使极限为无穷大。
• 图函数过程生成的图序列在广义切割度量下收敛于生成图函数W。
• 图函数W仅能通过切割距离为零的等价性唯一确定，即切割距离为零的图在极限下不可区分。
• 当且仅当存在满足尾部一致正则性的子序列时，图序列才具有收敛子序列。
• 每个图函数均等价于在R+上配备勒贝格测度定义的图函数，从而提供典范表示。