[论文解读] Special cycles on unitary Shimura varieties I. unramified local theory

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通过在具有 $O_K$-作用的 $p$-除子群形式模空间上构造特殊循环，建立了单位酉志村簇的局部算术 Cohen–Lenstra 猜测。证明了这些循环的交集长度与厄米形式表示密度的导数一致。关键结果是通过拟典范提升，精确给出了零维特殊循环的长度公式，将局部算术几何与 $L$-函数的特殊值联系起来。

ABSTRACT

The supersingular locus in the fiber at p of a Shimura variety attached to a unitary similitude group GU(1,n-1) over Q is uniformized by a formal scheme \Cal N. In the case when p is inert, we define special cycles Z(x) in \Cal N, associated to a collection x of m `special homomorphisms' with fundamental matrix T in Herm_m(OK). When m=n and T is nonsingular, we show that the cycle Z(x) is a union of components of the Ekedahl-Oort stratification, and we give a necessary and sufficient conditions, in terms of T, for Z(x) to be irreducible. When Z(x) is zero dimensional -- in which case it reduces to a single point -- we determine the length of the corresponding local ring by using a variant of the theory of quasi-canonical liftings. We show that this length coincides with the derivative of a representation density for hermitian forms.

研究动机与目标

• 在非分歧素数处为单位酉志村簇上的特殊循环发展一个局部理论，将全局算术几何推广到 $p$-进设置。
• 在参数化具有 $O_K$-作用和 $p$-主极化的 $p$-除子群的正式模空间 $\mathcal{N}$ 中定义特殊循环 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$。
• 通过拟典范提升理论的一个变体，计算零维特殊循环处局部环的长度。
• 证明该长度等于 $O_K$ 上厄米形式表示密度的导数。
• 建立 Kudla–Rapoport 猜想的局部类比，将算术交点数与 Eisenstein 系列的导数联系起来。

提出的方法

• 构造参数化维度为 $n$、高度为 $2n$、具有 $O_K$-作用（签名 $(1,n-1)$）和 $p$-主极化的 $p$-除子群的正式模空间 $\mathcal{N}$。
• 为 $m$-元组的特殊同态（其基本矩阵 $T \in \operatorname{Herm}_m(O_K)$）定义特殊循环 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$。
• 利用 Ekedahl-Oort 分层分析当 $m=n$ 且 $T$ 非奇异时 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ 的结构，证明其为分层分量的并集。
• 通过 $p$-进厄米模上的格理论条件，给出 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ 可约性的充要条件，以矩阵 $T$ 表示。
• 应用拟典范提升理论的一个变体，计算零维 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ 处局部环的长度。
• 通过 $p$-进积分和格指标推导表示密度导数的公式，与计算出的长度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $p$-进局部模型中，单位酉志村簇上的特殊循环在非分歧素数处的行为如何？
• RQ2 当 $m=n$ 且 $T$ 非奇异时，特殊循环 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ 的结构是什么？
• RQ3 矩阵 $T$ 在何种条件下使循环 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ 可约？
• RQ4 零维特殊循环处局部环的长度是多少？它与算术 $L$-函数有何关系？
• RQ5 能否通过 $p$-进类比的拟典范提升方法计算局部环的长度？

主要发现

• 当 $m=n$ 且 $T$ 非奇异时，循环 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ 要么为空，要么是 Ekedahl-Oort 分层分量的并集。
• 给出了 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$ 可约性的充要条件，该条件以 $T$ 的行列式 $p$-进赋值及关联厄米模的结构表示。
• 对于零维 $\mathcal{Z}(\mathbb{x})$，局部环的长度通过拟典范提升计算，并与关联于 $T$ 的厄米形式表示密度的导数一致。
• 长度公式表示为格分解的求和，涉及指标 $|M:N_i \perp N_i^\perp|^{-n_2}$ 和 $|N_i^\vee : N_i|^{n_2}$，且当 $L_1$ 为单模时 $\alpha_p(L,M)$ 可分解为 $\alpha_p(L_1,M)\alpha_p(L_2,N^\perp)$。
• 通过证明自同态 $\varphi$ 的形变局部等于拟典范除子 $\mathcal{W}_s(\varphi)$ 的和，且交点重数符合预期的 $p$-进和，完成了文献 [17] 中引理 7.7.3 的证明。
• 在非分歧情形下，$\varphi$ 的形变局部在特殊纤维中的长度被证明等于 $2\sum_{i=0}^{c-1} p^i + p^c$；在分歧情形下等于 $2\sum_{i=0}^c p^i$，通过 Keating 的结果确认了该公式。