[论文解读] Special identities for quasi-Jordan algebras

Murray R. Bremner, Luiz A. Peresi|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文研究了拟乔丹代数中的特殊恒等式，这类代数是通过结合双代数定义的非交换乔丹代数的一般化。利用有限域上的计算机代数和对称群的表示理论，作者证明：对于拟乔丹积，所有次数 ≤7 的恒等式均可由三个基本恒等式推出，但在次数 8 时出现了六个新恒等式——其中一些是非交换的格林尼恒等式的前体。作者构造了一个关于一个变量线性的新特殊恒等式，表明麦克唐纳关于特殊乔丹恒等式的定理无法推广到拟乔丹代数中。

ABSTRACT

Semispecial quasi-Jordan algebras (also called Jordan dialgebras) are defined by the polynomial identities $a(bc) = a(cb)$, $(ba)a^2 = (ba^2)a$, and $(b,a^2,c) = 2(b,a,c)a$. These identities are satisfied by the product $ab = a \dashv b + b \vdash a$ in an associative dialgebra. We use computer algebra to show that every identity for this product in degree $\le 7$ is a consequence of the three identities in degree $\le 4$, but that six new identities exist in degree 8. Some but not all of these new identities are noncommutative preimages of the Glennie identity.

研究动机与目标

• 确定在结合双代数中，拟乔丹积的所有多项式恒等式是否都是由三个已知恒等式（右交换性、拟乔丹恒等式、结合子-导子恒等式）推导出的。
• 研究在次数 8 时是否存在不被次数 ≤4 的已知恒等式所蕴含的特殊恒等式。
• 探讨经典特殊乔丹代数结果（如麦克唐纳定理）在拟乔丹代数的非交换设定下能推广到何种程度。
• 构造并验证一个关于三个变量且在一个变量上线性化的显式特殊恒等式，该恒等式在特殊乔丹代数中不可能存在。

提出的方法

• 在有限域 𝔽₁₀₁ 上使用大型矩阵进行计算线性代数，以分析自由结合双代数中的多重线性恒等式。
• 应用对称群的表示理论，按其结合类型和对称性对单项式进行分类。
• 通过系统展开过程，将恒等式从自由右交换代数提升到自由结合双代数。
• 模 101 计算系数矩阵的简化行阶梯形（RREF），以确定恒等式关系的秩和零空间。
• 通过识别不在先前已知恒等式行空间中的零空间向量，构造一个新的特殊恒等式，然后使用有理数算术在 ℚ 上验证其正确性。
• 验证该新恒等式在自由结合双代数中恒为零，从而确认其为有效的特殊恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结合双代数中，拟乔丹积的所有次数 ≤7 的多项式恒等式是否都是由次数 ≤4 的三个已知恒等式推导出的？
• RQ2 在结合双代数中，拟乔丹积的次数 8 是否存在新的、非推导出的恒等式？
• RQ3 在拟乔丹代数中，是否存在一个关于三个变量且在一个变量上线性化的特殊恒等式？这是否与乔丹代数中的麦克唐纳定理矛盾？
• RQ4 这些新发现的八次恒等式中，是否有非交换的格林尼恒等式的前体？
• RQ5 经典特殊乔丹代数结果（如科恩准则或希施绍夫定理）在半特殊拟乔丹代数中能推广到何种程度？

主要发现

• 在结合双代数中，拟乔丹积的所有次数 ≤7 的恒等式均可由三个基本恒等式（右交换性、拟乔丹恒等式、结合子-导子恒等式）推出。
• 存在六个新的八次恒等式，它们不能由次数 ≤4 的恒等式推出，表明已知恒等式基存在缺陷。
• 其中一些新恒等式是非交换的格林尼恒等式的前体，表明其与经典特殊乔丹恒等式之间存在结构关联。
• 构造了一个包含 296 项的新特殊恒等式，涉及三个变量且在一个变量上线性，该恒等式在特殊乔丹代数中不可能存在。
• 该新恒等式在 ℚ 上的自由结合双代数中被验证为恒为零，确认其为有效的特殊恒等式。
• 在三个变量中存在一个关于一个变量线性化的特殊恒等式，表明麦克唐纳定理无法推广到拟乔丹代数中。