[论文解读] Special Lagrangian m-folds in C^m with symmetries

Dominic Joyce|ArXiv.org|Aug 2, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 60

一句话总结

该论文通过使用 U(1)^{m-2}-不变锥体和同调性一的约化，构建了 ℂ^m 中具有高度对称性的特殊拉格朗日 m-流形的显式族。通过求解由对称性约化导出的常微分方程组，证明了在 m ≥ 3、4、5 分别对应于 T^{m-1}、S^2×T^{m-3} 和 S^3×T^{m-4} 上存在特殊拉格朗日锥体，为与 SYZ 猜想相关的卡拉比-丘流形中的奇点提供了关键的局部模型。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers on special Lagrangian submanifolds in C^m. We study special Lagrangian submanifolds in C^m with large symmetry groups, and give a number of explicit constructions. Our main results concern special Lagrangian cones in C^m invariant under a subgroup G in SU(m) isomorphic to U(1)^{m-2}. By writing the special Lagrangian equation as an o.d.e. in G-orbits and solving the o.d.e., we find a large family of distinct, G-invariant special Lagrangian cones on T^{m-1} in C^m. These examples are interesting as local models for singularities of special Lagrangian submanifolds of Calabi-Yau manifolds. Such models will be needed to understand Mirror Symmetry and the SYZ conjecture.

研究动机与目标

• 为卡拉比-丘 m-流形中特殊拉格朗日 m-流形奇点的显式局部模型进行构建，这对理解 SYZ 猜想至关重要。
• 在 ℂ^m 中构造具有大对称群的特殊拉格朗日 m-流形，特别是 U(1)^{m-2}-不变锥体。
• 提供具有指定拓扑与对称性的特殊拉格朗日子流形的几何例子，包括 T^{m-1}、S^2×T^{m-3} 和 S^3×T^{m-4}。
• 建立一个通过矩映射约化和从实解析 (m−1)-子流形演化生成新特殊拉格朗日 m-流形的框架。
• 将结果与 CP^{m-1} 中极小拉格朗日环面的已有工作及其在 ℂ^m 中提升为特殊拉格朗日锥体的研究联系起来。

提出的方法

• 在 U(1)^{m-2} 对称性下，将特殊拉格朗日条件约化为 m 个复变量 w_1(t), ..., w_m(t) 的常微分方程组。
• 对特殊拉格朗日锥体应用同调性一约化，以实参数 t 参数化轨道，并推导出拉格朗日条件的常微分方程。
• 利用 U(1)^{m-2} 作用的矩映射约束几何结构，并将问题约化为带有对称性约束的常微分方程组求解。
• 采用广义对称群 R_+ × SU(m) 来研究特殊拉格朗日锥体。
• 应用定理 9.1 和命题 9.3，通过群作用和矩映射的水平集从已知的特殊拉格朗日锥体构造新的 SL m-流形。
• 利用 CP^{m-1} 中极小拉格朗日环面的已知结果，将其提升为 ℂ^m 中的 U(1)^{m-2}-不变特殊拉格朗日锥体。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 ℂ^m 中显式构造出具有 U(1)^{m-2} 对称性的特殊拉格朗日 m-流形的大族，且 m ≥ 3？
• RQ2 在 U(1)^{m-2} 对称性下，ℂ^m 中存在哪些类型的特殊拉格朗日锥体，其几何性质如何？
• RQ3 矩映射与同调性一约化如何简化 ℂ^m 中特殊拉格朗日子流形的构造？
• RQ4 能否通过群作用和矩映射的水平集从已知的 SL 锥体生成特殊拉格朗日 m-流形？
• RQ5 所构造的特殊拉格朗日 m-流形的拓扑结构与奇点结构如何，特别是当 c ≠ 0 和 c = 0 时？

主要发现

• 该论文证明了在 ℂ^m 中存在一大族不同的特殊拉格朗日锥体，其底空间为 T^{m-1}（当 m ≥ 3 时），通过在 U(1)^{m-2} 对称性下求解常微分方程组而构造。
• 该论文建立了在 ℂ^m 中存在较小族的特殊拉格朗日锥体，其底空间为 S^2×T^{m-3}（当 m ≥ 4 时），这些锥体源于相同的常微分方程框架。
• 当 m ≥ 5 时，论文证明了在 ℂ^m 中存在特殊拉格朗日锥体，其底空间为 S^3×T^{m-4}，同样通过对称性约化的常微分方程解实现。
• 在 m=3 的情况下，论文对 U(1)-不变特殊拉格朗日锥体进行了详细分析，表明其与文献中已知结果等价。
• 当 c > 0 时，构造得到的嵌入 SL 3-流形微分同胚于 (T^2×ℝ)/ℤ_2，其拓扑结构取决于 a_3 的奇偶性：若 a_3 为偶数，则为 T^2×ℝ；若为奇数，则为克莱因瓶上的非平凡实线丛。
• 当 c < 0 时，所得的 SL 3-流形为浸入的，N^{a_1,a_2,a_3}_c 在 a_3 为偶数时为两个 S^1×ℝ^2 的副本，或在 a_3 为奇数时为一个浸入的 S^1×ℝ^2，且当 c ≠ 0 时沿一条 S^1 有奇点。