[论文解读] Special metric structures and closed forms

Frederik Witt|ArXiv.org|Feb 21, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用 43

一句话总结

本论文通过在具有 $(n,n)$ 指标的 $T \oplus T^*$ 上使用闭合的偶形式或奇形式，引入了流形上的广义 $G_2$- 和 $Spin(7)$-结构，这些形式稳定了 $Spin(7,7)$ 或 $Spin(8,8)$ 到 $G_2\times G_2$ 或 $Spin(7)\times Spin(7)$ 的约化，并建立了可积性的变分框架。论文证明，可积性条件等价于具有 NS-NS 混合场的 IIA/B 超引力中的超对称方程，并通过 T-对偶性构造了非平凡的紧致例子，表明由于里奇张量的约束，紧致流形上仅存在平凡解。

ABSTRACT

The primary aim of this thesis is to investigate metrics which are induced by a differential form and arise as a critical point of Hitchin's variational principle. Firstly, we investigate metrics associated with the structure group PSU(3) acting in its adjoint representation. We derive various obstructions to the existence of a topological reduction to PSU(3). For compact manifolds, we also find sufficient conditions if the PSU(3)-structure lifts to an SU(3)-structure. We give a Riemannian characterisation of topological PSU(3)-structures through an invariant spinor valued 1-form and show that the PSU(3)-structure is integrable if and only if the spinor valued 1-form defines a co-closed Rarita-Schwinger field. Moreover, we construct non-symmetric (compact) examples. Secondly, we consider even or odd forms which can be naturally interpreted as spinors for a spin structure on $T\oplus T^*$. As such, the forms we consider induce a reduction from $Spin(7,7)$ to $G_2 imes G_2$. We give a topological classification of $G_2 imes G_2$-structures. We prove that the condition for being a critical point is equivalent to the supersymmetry equations on spinors in supergravity theory of type IIA/B with NS-NS background fields. Examples are systematically constructed by the device of T-duality.

研究动机与目标

• 通过在具有 $(n,n)$ 指标的 $T \oplus T^*$ 上使用闭形式，推广 $G_2$- 和 $Spin(7)$-结构。
• 通过稳定形式和德拉姆上同调中的临界点，为可积结构建立变分原理。
• 通过旋量值 1-形式和扭曲狄拉克算子表征可积性。
• 在垂直同伦意义下对 $G_2\times G_2$-结构进行分类，并构造非平凡的紧致例子。
• 将可积性条件与具有 NS-NS 混合场的 IIA/B 超引力中的超对称方程联系起来。

提出的方法

• 使用 $\Omega^p(M)$ 中的稳定形式，诱导 $GL(TM)$ 到 $PSU(3)$、$G_2$ 或 $Spin(7)$ 等稳定子子群的约化。
• 通过收缩定义具有 $(n,n)$ 指标的内积，在 $T \oplus T^*$ 上定义广义度量结构。
• 将偶形式或奇形式表示为 $Spin(n,n)$ 的旋量，从而实现到 $G_2\times G_2$ 或 $Spin(7)\times Spin(7)$ 的约化。
• 在闭形式上制定约束变分问题，将可积性定义为体积泛函的临界点。
• 在 $S^1$-丛上使用 T-对偶性，将 $P$ 上的结构与 $P^t$ 上的对偶结构联系起来，变换挠率和类型（偶/奇）。
• 应用扭曲狄拉克算子，表征调和旋量值 1-形式为等价于可积的 $PSU(3)$-结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在流形上存在 $PSU(3)$-结构的必要和充分拓扑障碍是什么？
• RQ2 如何通过 $T \oplus T^*$ 上的闭形式定义广义 $G_2$- 和 $Spin(7)$-结构？其几何性质是什么？
• RQ3 广义形式上的可积性条件与具有 NS-NS 混合场的 IIA/B 超引力中的超对称方程之间有何关系？
• RQ4 T-对偶性如何变换广义 $G_2$- 和 $Spin(7)$-结构？可以构造出哪些新例子？
• RQ5 具有此类广义结构的紧致流形的曲率与里奇张量具有何种性质？

主要发现

• 若结构可提升为 $SU(3)$-结构，则紧致流形上存在可积的 $PSU(3)$-结构，其拓扑障碍源于三重性类。
• 在扭曲狄拉克算子下，调和旋量值 1-形式表征了拓扑 $PSU(3)$-结构。
• 广义 $G_2$- 和 $Spin(7)$-结构由稳定约化至 $G_2\times G_2$ 或 $Spin(7)\times Spin(7)$ 的闭形式定义，分别位于 $Spin(7,7)$ 或 $Spin(8,8)$ 内。
• 可积性条件等价于具有 NS-NS 背景场的 IIA/B 超引力中的超对称方程。
• 此类结构在紧致流形上里奇张量为零，意味着仅存在平凡解。
• 通过在 $S^1$-纤维丛上使用 T-对偶性，构造了偶型和奇型的非平凡局部可积广义 $Spin(7)$-结构的非平凡例子。