[论文解读] Special values and integral representations for the Hurwitz-type Euler zeta functions

Su Hu, Daeyeoul Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 26被引用 16

一句话总结

本文利用傅里叶展开技术，推导了Hurwitz型Euler zeta函数 $\zeta_E(s,x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+x)^s}$ 的积分表示和特殊值。它建立了关于有理数自变量的和的闭式表达式，并将其与Euler多项式和Bernoulli多项式联系起来，从而得到了Dirichlet beta函数和Catalan常数的新恒等式。

ABSTRACT

The Hurwitz-type Euler zeta function is defined as a deformation of the Hurwitz zeta function: \begin{equation*} ζ_E(s,x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+x)^s}. \end{equation*} In this paper, by using the method of Fourier expansions, we shall evaluate several integrals with integrands involving Hurwitz-type Euler zeta functions $ζ_E(s,x)$. Furthermore, the relations between the values of a class of the Hurwitz-type (or Lerch-type) Euler zeta functions at rational arguments have also been given.

研究动机与目标

• 利用傅里叶级数方法推导涉及Hurwitz型Euler zeta函数 $\zeta_E(s,x)$ 的积分表示。
• 建立 $\zeta_E(s,x)$ 在有理数自变量处的特殊值之间的关系。
• 通过傅里叶系数分析，对 $\zeta_E(s,x)$ 和Euler多项式的矩与乘积进行闭式求值。
• 通过zeta函数恒等式，获得Dirichlet beta函数 $\beta(2m)$ 和Catalan常数 $G$ 的有限闭式表达。
• 通过函数恒等式，将经典Eisenstein型公式推广至Euler zeta设定。

提出的方法

• 利用 $\zeta_E(s,x)$ 的傅里叶展开：$\zeta_E(s,x) = \frac{2\Gamma(1-s)}{\pi^{1-s}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\sin\left((2n+1)\pi x + \frac{\pi s}{2}\right)}{(2n+1)^{1-s}}$，其中 $\operatorname{Re}(s) < 1$，$0 < x \leq 1$。
• 应用Espinosa和Moll的方法，计算 $\zeta_E(s,x)$ 与三角函数及指数函数在 $[0,1]$ 上乘积的积分。
• 利用 $\zeta_E(s,x)$ 的函数方程和解析延拓，将有理点处的取值与Euler多项式和Bernoulli多项式联系起来。
• 使用恒等式 $\sum_{r=1}^{m-1} (-1)^r e^{-2\pi i r \alpha / m} \ell_{E,1-n}(r/m) = \frac{(-1)^{n-1}}{4} \left(m^n E_{n-1}(\{2\alpha/m\}) + E_{n-1}(0)\right) - \frac{1}{2n} \left(m^n B_n(\{2\alpha/m\}) + B_n(0)\right)$ 推导闭式表达。
• 通过傅里叶级数方法，利用已知的Bernoulli多项式和Euler多项式的级数展开，将 $\zeta_E(s,x)$ 与L-函数的特殊值联系起来。
• 利用推导出的恒等式和已知的特殊函数恒等式，推导出 $\beta(2m)$ 和Catalan常数 $G$ 的Euler型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用傅里叶级数展开推导Hurwitz型Euler zeta函数的积分表示？
• RQ2 在有理数自变量 $x = r/m$ 处，$\zeta_E(s,x)$ 的取值之间存在何种关系？
• RQ3 能否对 $\zeta_E(s,x)$ 与Euler多项式的矩和乘积进行闭式求值？
• RQ4 能否利用zeta函数恒等式，为 $\beta(2m)$ 和Catalan常数 $G$ 获得有限闭式表达？
• RQ5 所推导的恒等式如何将经典Eisenstein型公式推广至有理数自变量情形？

主要发现

• 本文推导出 $\sum_{r=1}^{m-1} (-1)^r e^{-2\pi i r \alpha / m} \ell_{E,1-n}(r/m)$ 的闭式表达，其以 $2\alpha/m$ 的分数部分处的Euler多项式和Bernoulli多项式表示。
• 研究结果表明，$\beta(2m)$ 可通过所推导的恒等式，以初等函数的有限形式表达。
• 本文为Dirichlet beta函数 $\beta(2m)$ 提供了一种新的Euler型公式，将经典结果推广至Euler zeta设定。
• Catalan常数 $G$ 被表示为包含Euler多项式与Bernoulli数的有限和，其形式由Adamchik整理。
• 该方法可显式计算涉及 $\zeta_E(s,x)$ 的积分、与三角函数乘积的积分，以及zeta函数的矩。
• 结果通过用 $\zeta_E(s,x)$ 和Euler多项式之和替代三角余切项，推广了经典Eisenstein公式。