[论文解读] Spectral analysis on standard locally homogeneous spaces

Fanny Kassel, Toshiyuki Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 44被引用 5

一句话总结

本文在 $L_{\mathbb{C}}$-球对称性条件下，建立了标准局部齐性空间 $X_{\Gamma} = \Gamma\backslash G/H$ 上伪黎曼拉普拉斯算子的谱分析与半单群表示理论之间的显式对应关系，证明了其本质自伴性及无限离散谱的存在性。关键结果将 $X_{\Gamma}$ 上的本征函数与 $G$-表示关于 $L$ 的限制的分支律联系起来。

ABSTRACT

Let $X=G/H$ be a reductive homogeneous space with $H$ noncompact, endowed with a $G$-invariant pseudo-Riemannian structure. Let $L$ be a reductive subgroup of $G$ acting properly on $X$ and $Γ$ a torsion-free discrete subgroup of $L$. Under the assumption that the complexification $X_{\mathbb C}$ is $L_{\mathbb C}$-spherical, we prove an explicit correspondence between spectral analysis on the standard locally homogeneous space $X_Γ=Γ\backslash X$ and on $Γ\backslash L$ via branching laws for the restriction to $L$ of irreducible representations of $G$. In particular, we prove that the pseudo-Riemannian Laplacian on $X_Γ$ is essentially self-adjoint, and that it admits an infinite point spectrum when $X_Γ$ is compact or $Γ\subset L$ is arithmetic. The proof builds on structural results for invariant differential operators on spherical homogeneous spaces with overgroups.

研究动机与目标

• 在 $L_{\mathbb{C}}$-球对称性条件下，建立标准局部齐性空间 $X_{\Gamma} = \Gamma\backslash G/H$ 与黎曼空间 $\Gamma\backslash L$ 之间的谱对应关系。
• 证明 $X_{\Gamma}$ 上的伪黎曼拉普拉斯算子是本质自伴的。
• 证明当 $X_{\Gamma}$ 紧致或 $\Gamma \subset L$ 为算术子群时，$X_{\Gamma}$ 拥有无限离散谱。
• 将 $X_{\Gamma}$ 的离散谱与不可约 $G$-表示关于 $L$ 的限制的分支律联系起来。
• 通过拉回与分布解，提供 $X_{\Gamma}$ 上 $L^2$-本征函数的表示论描述。

提出的方法

• 使用 $G$-不变微分算子 $\mathbb{D}_G(X)$ 及其通过拉回 $p_\Gamma^*$ 在 $X_\Gamma$ 上诱导的算子 $D_\Gamma$。
• 应用从 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}\text{-alg}}(Z(\mathfrak{g}_\mathbb{C}), \mathbb{C})$ 到特征值的转移映射 $\boldsymbol{\lambda}$，关联 $X_\Gamma$ 与 $\Gamma\backslash L$ 上的本征值。
• 利用 $X_\mathbb{C}$ 的 $L_{\mathbb{C}}$-球对称性，确保对不变微分算子的结构控制。
• 运用彼得-外尔定理与哈里什-钱德拉离散系列，描述 $\mathrm{Disc}(\Gamma\backslash L)$ 与 $\mathrm{Disc}(\Gamma\backslash G)$。
• 定义分布解与 $L^2$-本征函数空间 $\mathcal{F}(X_\Gamma; \mathcal{M}_\lambda)$，并通过拉回与对偶性建立其关联。
• 利用映射 $\mathbf{i}_{\tau,\Gamma}$ 与 $\mathbf{p}_{\tau,\Gamma}$ 保持谱类型 $\mathbf{I}$ 与 $\mathbf{II}$，将 $X_\Gamma$ 与 $\Gamma\backslash L$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$X_\Gamma = \Gamma\backslash G/H$ 上的伪黎曼拉普拉斯算子是本质自伴的？
• RQ2 当 $X_\Gamma$ 紧致或 $\Gamma \subset L$ 为算术子群时，$X_\Gamma$ 何时拥有无限离散谱？
• RQ3 如何通过不可约 $G$-表示关于 $L$ 的限制的分支律来描述 $X_\Gamma$ 的离散谱？
• RQ4 $X_\Gamma$ 上的 $L^2$-本征函数与黎曼空间 $\Gamma\backslash L$ 上的本征函数之间存在何种精确对应关系？
• RQ5 谱类型 $\mathbf{I}$ 与 $\mathbf{II}$ 在 $X_\Gamma$ 上如何通过表示论转移与 $\Gamma\backslash L$ 上的对应类型关联？

主要发现

• 伪黎曼拉普拉斯算子 $\square_{X_\Gamma}$ 在 $C^\infty_c(X_\Gamma)$ 上是本质自伴的。
• 当 $X_{\Gamma}$ 紧致或 $\Gamma \subset L$ 为算术子群时，$X_{\Gamma}$ 拥有无限离散谱。
• 通过转移映射 $\boldsymbol{\lambda}$，$X_{\Gamma}$ 的离散谱与 $\Gamma\backslash L$ 的离散谱之间存在显式对应。
• $L^2(X_\Gamma; \mathcal{M}_\lambda)$ 上 $L^2$-本征函数的空间非平凡，当且仅当 $\lambda$ 对应的 $G$-表示的 $L$-限制包含一个离散系列表示。
• $X_{\Gamma}$ 上的谱类型 $\mathbf{I}$ 与 $\mathbf{II}$ 在映射 $\mathbf{i}_{\tau,\Gamma}$ 与 $\mathbf{p}_{\tau,\Gamma}$ 下保持不变，从而与 $\Gamma\backslash L$ 上的相应类型相联系。
• $X_{\Gamma}$ 的离散谱通过从 $\Gamma\backslash L$ 拉回 $L^2$-本征函数来描述，其中 $\overline{q_\Gamma^* f} \in \bigoplus_{\pi \in i(\nu)} W_\pi$ 刻画了 $f \in L^2(X_\Gamma, \mathcal{V}_\tau; \mathcal{N}_\nu)_i$。