[论文解读] Spectral multipliers, Bochner-Riesz means and uniform Sobolev inequalities for elliptic operators

Adam Sikora, Lixin Yan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文为具有常系数的高阶椭圆微分算子建立了统一的Sobolev不等式，并通过扰动技术将其推广至具有小的和反平方势的Schrödinger算子。研究推导了谱乘子和负指标的Bochner-Riesz平均在$L^p$到$L^q$之间的精确估计，推广了Kenig-Ruiz-Sogge的结果至高阶算子，并在谱乘子框架下给出了Bochner-Riesz平均最优可求和性的条件。

ABSTRACT

This paper comprises two parts. In the first, we study $L^p$ to $L^q$ bounds for spectral multipliers and Bochner-Riesz means with negative index in the general setting of abstract self-adjoint operators. In the second we obtain the uniform Sobolev estimates for constant coefficients higher order elliptic operators $P(D)-z$ and all $z\in {\mathbb C}\backslash [0, \infty)$, which give an extension of the second order results of Kenig-Ruiz-Sogge \cite{KRS}. Next we use perturbation techniques to prove the uniform Sobolev estimates for Schrödinger operators $P(D)+V$ with small integrable potentials $V$. Finally we deduce spectral multiplier estimates for all these operators, including sharp Bochner-Riesz summability results.

研究动机与目标

• 为所有$z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$的常系数高阶椭圆微分算子$P(D) - z$建立统一的Sobolev估计，推广Kenig-Ruiz-Sogge的二阶结果。
• 在抽象自伴算子的一般框架下，发展谱乘子和负指标Bochner-Riesz平均的$L^p$到$L^q$估计。
• 利用扰动技术，证明Schrödinger算子$P(D) + V$在小的可积势$V$下的统一Sobolev估计。
• 从所有考虑的算子中推导出精确的Bochner-Riesz可求和性结果和谱乘子估计，包括具有反平方势的情况。

提出的方法

• 通过限制型估计和谱理论，推导常系数高阶椭圆微分算子的统一Sobolev不等式。
• 应用扰动理论，将$P(D)$的统一Sobolev估计扩展至$P(D) + V$，其中$V$为小的$L^1$势，利用预解式估计和$VR_0(z)$在$L^p$上的有界性。
• 利用Stein-Tomas限制条件和Davies-Gaffney估计，控制谱测度并建立谱乘子的$L^p$估计。
• 采用通过谱分解$F(L) = \int_0^\infty F(\lambda)\, dE_L(\lambda)$定义的Bochner-Riesz平均算子$S_R^\alpha(L)$，其中$F(\lambda) = (1 - \lambda/R)^\alpha_+$，以研究乘子的收敛性。
• 应用非切向极大函数方法和谱测度$dE_H(\lambda)$的$L^p$有界性，推导Schrödinger算子的限制型估计。
• 通过将Bochner-Riesz平均与Sobolev嵌入及乘子函数的光滑性条件关联，建立Bochner-Riesz平均的精确$L^p$估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自伴算子的一般框架下，谱乘子和负指标Bochner-Riesz平均的精确$L^p$到$L^q$估计是什么？
• RQ2 能否为所有$z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$的高阶椭圆算子$P(D) - z$建立统一的Sobolev估计，从而推广Kenig-Ruiz-Sogge的二阶结果？
• RQ3 小的$L^1$势$V$如何影响$P(D) + V$的统一Sobolev估计？扰动技术能否保持这些估计？
• RQ4 在高阶算子与Schrödinger算子的背景下，Bochner-Riesz平均的最优可求和范围是什么？
• RQ5 能否为具有反平方势$V(x) = c/|x|^2$的Schrödinger算子建立谱测度$dE_H(\lambda)$的限制型估计？

主要发现

• 为高阶椭圆算子$P(D) - z$（$z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$）建立了统一的Sobolev估计，将Kenig-Ruiz-Sogge的二阶结果推广至高阶情形。
• 对于具有小的$L^1$势$V$的Schrödinger算子$P(D) + V$，在$\|V\|_{L^1}$充分小的条件下，统一Sobolev估计在所有$z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$上一致成立。
• 获得了Bochner-Riesz平均$S_R^\alpha(H)$的精确$L^p$到$L^q$估计，最优可求和指标为$\alpha > n(1/p - 1/2) - 1/2$，当$1 \leq p < \min(\frac{2(n+1)}{n+3}, \frac{n}{m})$时，确保一致的算子范数有界性。
• 在$\mathbb{R}^3$中，对于反平方势$V(x) = c/|x|^2$且$0 \leq c \leq c_0$的情形，谱测度满足$\|dE_H(\lambda)\|_{p \to p'} \leq C\lambda^{3(1/p - 1/p')/2 - 1}$（$1 \leq p \leq 4/3$），将限制估计推广至该奇异势情形。
• $L^p$有界性$R_0(z)$和统一有界性$\|(I + VR_0(z))^{-1}\|_{p \to p} \leq 2$（$1 < p < 3/2$）是证明$H = -\Delta + V$（$V$为小的$c \geq 0$）的限制估计的关键，使估计可扩展至$p \in [6/5, 4/3]$。
• 本文证明了函数$(1 - \lambda)_+^\delta$属于Sobolev空间$W^{n(1/p - 1/2), 2}$，当$\alpha > n(1/p - 1/2) - 1/2$时，从而可应用定理6.3推导Bochner-Riesz平均的一致有界性。