[论文解读] Spectral radius and rainbow Hamiltonicity in bipartite graphs

Meng chen, Ruifang Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2026

Graph theory and applications被引用 0

一句话总结

该论文为存在彩虹哈密顿路径和循环的双分图族提供紧致的谱半径条件，并对相应的谱极值图进行了完全表征。

ABSTRACT

Let $\mathcal{G}=\{G_1, G_2, \ldots , G_k\}$ be a family of bipartite graphs on the same vertex set. A rainbow Hamilton path (cycle) in $\mathcal{G}$ is a path (cycle) that visits each vertex precisely once such that any two edges belong to different graphs of $\mathcal{G}.$ In this paper, by adopting the technique of bi-shifting, we present tight sufficient conditions in terms of the spectral radius for a family $\mathcal{G}$ to admit a rainbow Hamilton path and cycle, respectively. Meanwhile, we completely characterize the corresponding spectral extremal graphs.

研究动机与目标

• 通过谱半径动机化并研究一族双分图中彩虹哈密顿路径/循环的存在性。
• 利用谱半径提出关于彩虹哈密顿路径和循环的紧致充分条件。
• 表征在谱半径界达到等号的极值图。
• 将 shift/bi-shifting 技术改编并应用于彩虹情形。

提出的方法

• 采用 bi-shifting（以及 shifting）技术在保持彩虹哈密顿性性质的同时变换图。
• 利用谱半径比较与 Nosal-type 上界通过边数来界定 ρ(G)。
• 应用等价商矩阵和特征值夹杂来将图结构与 ρ(G) 联系起来。
• 为平衡且近平衡的双分图推导彩虹哈密顿路径和循环的紧致充分条件。
• 表征在谱半径条件下达到等号的极值图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对一族双分图，哪些谱半径条件能保证彩虹哈密顿路径或循环？
• RQ2 达到这些谱半径界的极值双分图结构为何？
• RQ3 移位/ bi-shifting 操作在谱约束下如何影响彩虹哈密顿结构的存在性？
• RQ4 已知的非彩虹哈密顿性谱条件能否推广到双分图的彩虹变体？

主要发现

• Theorem 1.3：对于一个规模为 2n-1 的平衡双分图族，若 ρ(Gi) ≥ ρ(Kn,n−1 ∪ K1)，则存在彩虹哈密顿路径，除非所有 Gi 同构于 Kn,n−1 ∪ K1。
• Theorem 1.4：对于一个规模为 2n-2 的近平衡双分图族，若 ρ(Gi) ≥ ρ(Kn−1,n−1 ∪ K1)，则存在彩虹哈密顿路径，除非所有 Gi 同构于 Kn−1,n−1 ∪ K1。
• Theorem 1.5（引自）：若 ρ(G) ≥ ρ(Bn^k) 则在最小度数 δ(G)≥k 的平衡双分图中存在哈密顿循环。
• Theorem 1.6：对于一个平衡的 2n 图族，若 ρ(Gi) ≥ ρ(K1,n−1 ⊎ ˆKn−1,1)，则存在彩虹哈密顿循环，除非所有 Gi 同构于 K1,n−1 ⊎ ˆKn−1,1。
• 论文还给出完整的谱极值表征，表明达到界的极值图恰是给定的结构图（如 Qn^0、Tn^0 等）。