[论文解读] Spectral radius, toughness and $k$-factor of graphs

Yuanyuan Chena, Huiqiu Lina+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2026

Graph theory and applications被引用 0

一句话总结

论文建立了光谱半径和边数条件，保障在最小度至少为k的连通图中存在k因子，并将这些结果扩展到1-韧性和1-绑定图。

ABSTRACT

A $k$-regular spanning subgraph of $G$ is called a $k$-factor. Fan, Lin and Lu [European J. Combin. 110 (2023) 103701] presented a tight sufficient condition in terms of the spectral radius for a connected 1-tough graph to contain a connected 2-factor (Hamilton cycle). Then it is interesting to consider the following problem: What is the spectral radius condition to guarantee the existence of a $k$-factor with $k\ge3$ in a connected 1-tough graph $G$ with $δ(G)\ge k$? In this paper, we completely solve this problem.

研究动机与目标

• 通过将光谱半径与因子存在性联系起来来激发研究动机。
• 给出充分的光谱半径条件，使并且只有当ν(G)≥k且δ(G)≥k时的图包含一个k因子。
• 将结果扩展到边条件和绑定/韧性情境。
• 解决关于1-韧性和1-绑定图中k因子光谱条件的开放问题。

提出的方法

• 定义并使用[ a,b ]-因子和k-因子，作为具有度约束的 spanning 子图。
• 应用光谱图论工具，如Perron-Frobenius特征值和特征向量比较。
• 利用已知引理，将子图的光谱半径与整个图联系起来。
• 采用极值图法：设一个极大反例并推导结构性约束。
• 构造极值图G^{1}_{n,k}和G^{2}_{n,k}以表征等号情形。
• 将韧性/绑定数概念转化为图的结构配置，以获得推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ν(G)≥k且δ(G)≥k的条件下，连通图的ρ(G)高于某界是否能保证存在一个k因子？
• RQ2 在同样的度数假设下，哪些边数或绑定数条件能保证k因子，与光谱半径标准有何关系？
• RQ3 对于1-韧性图和1-绑定图，关于k≥3的k因子存在性，结果如何推广？

主要发现

• 除了极值图同构性之外，给出ρ(G)≥ρ(G^{1}_{n,k})时存在k因子的光谱半径条件的完整解答。
• 相应的边条件：若 e(G) > C，其中C = binom{n-k-1}{2}+k(k+1)+k-1，则在相同的度假设下G包含一个k因子。
• 对于1-韧性连通图，给出一个光谱半径条件，保证k≥3的k因子存在，且仅在极值图G^{2}_{n,k}附近唯一。
• 1-绑定图的推论：若ρ(G)≥ρ(G^{1}_{n,k})，则k因子存在，且等号仅出现在G≅G^{1}_{n,k}时。
• 本研究将先前关于哈密顿性（2因子）的结果推广到k因子，并在韧性与绑定约束下扩展光谱方法。