[论文解读] Spectral statistics for random Schr\\"odinger operators in the localized regime

François Germinet, Frédéric Klopp|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 41被引用 49

一句话总结

该论文证明，在随机薛定谔算符的局域化 regime 中，围绕固定能量 E 的一个小能量区间内的本征值，在大体积极限下收敛到泊松点过程。在局域化态密度的温和条件下，限制在大立方体上的本征值渐近独立同分布，从而在所有尺度上实现本征值间距、局域化中心及其联合分布的普适泊松统计。

ABSTRACT

We study various statistics related to the eigenvalues and eigenfunctions of random Hamiltonians in the localized regime. Consider a random Hamiltonian at an energy $E$ in the localized phase. Assume the density of states function is not too flat near $E$. Restrict it to some large cube $\\Lambda$. Consider now $I_\\Lambda$, a small energy interval centered at $E$ that asymptotically contains infintely many eigenvalues when the volume of the cube $\\Lambda$ grows to infinity. We prove that, with probability one in the large volume limit, the eigenvalues of the random Hamiltonian restricted to the cube inside the interval are given by independent identically distributed random variables, up to an error of size an arbitrary power of the volume of the cube. As a consequence, we derive * uniform Poisson behavior of the locally unfolded eigenvalues, * a.s. Poisson behavior of the joint distibutions of the unfolded energies and unfolded localization centers in a large range of scales. * the distribution of the unfolded level spacings, locally and globally, * the distribution of the unfolded localization centers, locally and globally.

研究动机与目标

• 理解随机薛定谔算符在局域化相中的本征值与本征函数的统计行为。
• 分析热力学极限下展开本征值与局域化中心的联合统计。
• 严格推导本征值间距分布及其在局域化 regime 中收敛到泊松型极限的行为。
• 建立本征值统计渐近独立同分布，其误差随系统尺寸按小量缩放。
• 表明局域化中心的统计——无论局部还是全局——也收敛到泊松行为。

提出的方法

• 分析聚焦于 Z^d 上具有 i.i.d. 光滑随机势的离散安德森模型，限制在大立方体域 Λ 上。
• 研究以 E 为中心、包含无限多本征态的小区间 I_Λ 内的本征值，当 |Λ| → ∞ 时。
• 作者利用谱局域化估计，包括本征函数的指数衰减与预解算子有界性，以控制本征值之间的相关性。
• 通过证明展开本征值与局域化中心的联合分布收敛到乘积测度，从而证明本征值统计收敛到泊松点过程。
• 关键工具包括本征函数重叠的矩估计，以及形如 ||φ_j,Λ||_x ||φ_j,Λ||_y ≤ e^{-|x-y|^ξ}（ξ < 1）的指数衰减估计。
• 证明依赖于一系列先验估计（记为 (1)–(11)），将局域化性质与谱统计联系起来，最终导出本征值间距分布收敛到 g(x) = ∫_Σ e^{-ν(λ)x} ν(λ) dλ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在热力学极限下，随机薛定谔算符在局域化 regime 中的本征值是否表现如泊松点过程？
• RQ2 展开本征值与展开局域化中心的联合分布是否在所有尺度上渐近泊松化？
• RQ3 在局域化相中，连续本征值之间本征值间距的极限分布为何？
• RQ4 当在空间与能量上适当地展开时，本征函数的局域化中心如何分布？
• RQ5 谱统计的收敛性是否在能量上一致，并在系统尺寸的不同尺度上成立？

主要发现

• 当 |Λ| → ∞ 时，本征值间距分布 DLS(x; ω, Λ) 几乎必然一致收敛到 g(x) = ∫_Σ e^{-ν(λ)x} ν(λ) dλ。
• 在区间 I_Λ 内的本征值渐近为独立同分布的随机变量，误差阶为 |Λ|^{-p}（对任意 p > 0）。
• 展开本征值与展开局域化中心的联合分布几乎必然收敛到能量与空间上的泊松过程。
• 展开本征值间距的分布渐近为泊松分布，无论在局部还是全局系统尺寸下均成立。
• 展开局域化中心间距的分布也收敛到泊松过程，表明空间局域化无相关性。
• 收敛性在能量上一致成立，并在所有尺度上成立，误差界衰减快于 |Λ| 的任意幂次。