[论文解读] Spectral triples for AF C*-algebras and metrics on the Cantor set

Antonescu, Cristina, Erik Christensen|ArXiv.org|Sep 2, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 75

一句话总结

该论文通过利用AF C*-代数自然的有限维子代数滤子结构构造的狄拉克算子，为AF C*-代数构建了谱三元组，其在状态空间上诱导出的度量与弱*拓扑一致。一个关键结果表明，狄拉克算子的本征值可被任意增大而不违反谱三元组公理，且在特定条件下，该性质可表征AF代数。

ABSTRACT

An AF C*-algebra has a natural filtration as an increasing sequence of finite dimensional C*-algebras. We show that it is possible to construct a Dirac operator which relates to this filtration in a natural way and which will induce a metric for the weak*-topology on the state space of the algebra. In the particular case of a UHF C*-algebra, the construction can be made in a way, which relates directly to the dimensions of the increasing sequence of subalgebras.The algebra of continuous functions on the Cantor set is an approximately finite dimensional C*-algebra and our investigations show, when applied to this algebra, that the proposed Dirac operators have good classical interpretations and lead to an, apparently, new way of constructing a representative for a Cantor set of any given Hausdorff dimension. At the end of the paper we study the finite dimensional full matrix algebras over the complex numbers, and show that the operation of transposition on matrices yields a spectral triple which has the property that it's metric on the state space is exactly the norm distance.This result is then generalized to arbitrary unital C*-algebras.

研究动机与目标

• 通过尊重AF C*-代数归纳极限结构的狄拉克算子，为其构建谱三元组。
• 在代数的状态空间上诱导出与弱*拓扑一致的度量。
• 研究狄拉克算子本征值可任意缩放而不违反谱三元组公理的性质，是否可表征AF C*-代数。
• 通过C(X)上的谱三元组，为具有指定豪斯多夫维数的康托集提供一种新构造方法，其中X为康托集。
• 证明对于全矩阵代数Mn，转置运算可生成一个谱三元组，其在状态空间上的度量恰好为范数距离，并将此结果推广至任意单位化C*-代数。

提出的方法

• 在希尔伯特空间H上构造一个狄拉克算子D，使其与AF C*-代数向有限维子代数的滤子结构自然相互作用。
• 利用代数在希尔伯特空间上的表示以及投影P = (I + S)/2（其中S为交换算子），定义自伴元a的换位子[P, π(a)]。
• 通过恒等式‖a − γI‖ = 2‖[P, π(a)]‖，将换位子的范数‖[P, π(a)]‖与a到单位元倍数的距离联系起来。
• 将状态空间S(A)上的度量定义为d(φ, ψ) = sup{|φ(a) − ψ(a)| : a ∈ A, ‖[D, a]‖ ≤ 1}，以确保与弱*拓扑相容。
• 将该构造应用于康托集X上连续函数的C*-代数C(X)，证明所得狄拉克算子可提供一种构造任意给定豪斯多夫维数康托集的新方法。
• 对于Mn，利用L²(Mn, tr)上的转置算子T定义投影P = (I + T)/2，并证明所得谱三元组在状态空间上诱导出范数距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为AF C*-代数构造一个谱三元组，使得其在状态空间上诱导的度量与弱*拓扑一致？
• RQ2 AF代数的滤子结构在构造诱导度量的狄拉克算子中起什么作用？
• RQ3 狄拉克算子本征值可任意缩放而不违反谱三元组公理的性质，是否可表征AF C*-代数？
• RQ4 在C(X)上（X为康托集）的谱三元组构造，是否可提供一种生成具有指定豪斯多夫维数的康托集的新方法？
• RQ5 对于全矩阵代数Mn，转置运算是否生成一个谱三元组，其在状态空间上的度量恰好为范数距离？该结果能否推广至任意单位化C*-代数？

主要发现

• 可为任意AF C*-代数通过其归纳极限滤子结构导出的狄拉克算子构造谱三元组，其在状态空间上诱导的度量与弱*拓扑一致。
• 所构造谱三元组中狄拉克算子的本征值可被任意增大而不违反谱三元组公理。
• 该本征值灵活性在非AF C*-代数中不可能实现；本文证明在所述条件下，该现象可表征AF代数。
• 对于康托集X上连续函数的C*-代数C(X)，该构造生成的谱三元组所关联的度量，可提供一种构造任意给定豪斯多夫维数康托集的新方法。
• 对于全矩阵代数Mn，L²(Mn, tr)上的转置运算可生成一个谱三元组，其在状态空间上的度量恰好为范数距离。
• 该结果可推广至任意单位化C*-代数，表明基于转置的构造在状态空间上诱导出范数距离。