[论文解读] Spherical functions on affine Lie groups

Pavel Etingof, Igor Frenkel+1 more|ArXiv.org|Jul 9, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 7

一句话总结

该论文利用表示论方法，通过在紧致和仿射李群上构造加权互换算子的迹，构建了向量值共轭等变函数。推导了拉普拉斯算子的径向部分，得到完全可积的量子系统；在仿射情形下，这些结果与Wess-Zumino-Witten共形块及临界水平下的椭圆型Calogero-Sutherland-Moser哈密顿量相关联，其中量子积分由Sugawara算子产生。

ABSTRACT

We describe vector valued conjugacy equivariant functions on a group K in two cases -- K is a compact simple Lie group, and K is an affine Lie group. We construct such functions as weighted traces of certain intertwining operators between representations of K. For a compact group $K$, Peter-Weyl theorem implies that all equivariant functions can be written as linear combinations of such traces. Next, we compute the radial parts of the Laplace operators of $K$ acting on conjugacy equivariant functions and obtain a comple- tely integrable quantum system with matrix coefficients, which in a special case coincides with the trigonometric Calogero-Sutherland-Moser multi-particle system. In the affine Lie group case, we prove that the space of equivariant functions having a fixed homogeneity degree with respect to the action of the center of the group is finite-dimensional and spanned by weighted traces of intertwining operators. This space coincides with the space of Wess-Zumino-Witten conformal blocks on an elliptic curve. We compute the radial part of the second order Laplace operator on the affine Lie group acting on equivariant functions, and find that it is a certain parabolic partial differential operator, which degenerates to the elliptic Calogero-Sutherland-Moser hamiltonian as the central charge tends to minus the dual Coxeter number (the critical level). Quantum integrals of this hamiltonian are obtained as radial part of the higher Sugawara operators which are central at the critical level.

研究动机与目标

• 通过表示论方法在紧致和仿射李群上构造共轭等变函数。
• 表征在中心作用下具有固定齐次度的等变函数空间为有限维，并由加权迹张成。
• 计算仿射李群上二阶拉普拉斯算子的径向部分，并确定其与可积系统的关系。
• 建立这些等变函数与椭圆曲线上Wess-Zumino-Witten共形块之间的对应关系。
• 分析临界水平极限下，径向拉普拉斯算子退化为椭圆型Calogero-Sutherland-Moser哈密顿量的情形。

提出的方法

• 将等变函数构造为群K的表示之间互换算子的加权迹。
• 应用Peter-Weyl定理，证明所有紧致K上的等变函数均可表示为这些迹的线性组合。
• 计算K上拉普拉斯算子的径向部分，得到具有矩阵系数的完全可积量子系统。
• 对于仿射李群，证明在固定中心荷度下，等变函数构成有限维空间，且由加权迹张成。
• 将仿射K上二阶拉普拉斯算子的径向部分导出为抛物型偏微分算子。
• 将哈密顿量的量子积分识别为高阶Sugawara算子的径向部分，这些算子在临界水平下为中心算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用表示论方法构造紧致和仿射李群上的共轭等变函数？
• RQ2 在仿射李群设定下，作用于等变函数的拉普拉斯算子的径向部分是什么？
• RQ3 仿射李群上的径向拉普拉斯算子如何与已知的可积系统（如Calogero-Sutherland-Moser模型）相关联？
• RQ4 中心荷在决定仿射李群上等变函数结构方面起什么作用？
• RQ5 Sugawara算子在此背景下如何贡献于临界水平下的量子可积性？

主要发现

• 在仿射李群上，具有固定中心荷齐次度的共轭等变函数空间为有限维，且由互换算子的加权迹张成。
• 这些等变函数与椭圆曲线上Wess-Zumino-Witten共形块的空间完全一致。
• 仿射李群上二阶拉普拉斯算子的径向部分为抛物型偏微分算子。
• 在临界水平（中心荷 = -h∨，其中h∨为对偶考森数）下，径向拉普拉斯算子退化为椭圆型Calogero-Sutherland-Moser哈密顿量。
• 该哈密顿量的量子积分来源于高阶Sugawara算子的径向部分，这些算子在临界水平下为中心算子。
• 该构造提供了一个具有矩阵系数的完全可积量子系统，推广了紧致情形下的三角型Calogero-Sutherland-Moser系统。