[论文解读] Spherical Functions: The Spheres Vs. The Projective Spaces

Juan Tirao, Ignacio Zurrián|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Mathematics and Applications参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文在群表示论与矩阵值球函数的基础上，建立了 $S^n \simeq \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$ 上的不可约球函数与 $\mathbb{R}P^n \simeq \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{O}(n)$ 上的球函数之间的精确对应关系。当 $n$ 为奇数时，$\mathbb{R}P^n$ 上的球函数通过显式矩阵构造与 $S^n$ 上的函数对相关联；当 $n$ 为偶数时，球函数直接一致。关键结果是：确定一个空间上的所有球函数等价于确定另一个空间上的球函数。

ABSTRACT

In this paper we establish a close relationship between the spherical functions of the $n$-dimensional sphere $S^n\simeq\SO(n+1)/\SO(n)$ and the spherical functions of the $n$-dimensional real projective space $P^n(\mathbb{R})\simeq\SO(n+1)/\mathrm{O}(n)$. In fact, for $n$ odd a function on $\SO(n+1)$ is an irreducible spherical function of some type $π\in\hat\SO(n)$ if and only if it is an irreducible spherical function of some type $γ\in\hat {\mathrm{O}}(n)$. When $n$ is even this is also true for certain types, and in the other cases we exhibit a clear correspondence between the irreducible spherical functions of both pairs $(\SO(n+1),\SO(n))$ and $(\SO(n+1),\mathrm{O}(n))$. Summarizing, to find all spherical functions of one pair is equivalent to do so for the other pair.

研究动机与目标

• 阐明 $S^n = \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$ 上的球函数与 $\mathbb{R}P^n = \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{O}(n)$ 上的球函数之间的关系。
• 确定 $S^n$ 上类型为 $\pi \in \hat{\mathrm{SO}}(n)$ 的球函数何时与 $\mathbb{R}P^n$ 上类型为 $\gamma \in \hat{\mathrm{O}}(n)$ 的球函数重合。
• 当 $n$ 为奇数且一般情形时，构建 $({\mathrm{SO}}(n+1), \mathrm{O}(n))$ 的不可约球函数与 $({\mathrm{SO}}(n+1), \mathrm{SO}(n))$ 的球函数对之间的显式对应关系。
• 证明在对称空间上求解球函数的问题，等价于在另一空间上求解球函数，借助表示论与特征标理论。

提出的方法

• 利用涉及特征标 $\chi_\delta$ 与紧致子群上哈尔测度的积分方程，定义矩阵值球函数的理论。
• 应用 $\mathrm{SO}(n)$ 与 $\mathrm{O}(n)$ 的不可约表示分类，特别关注 $\mathrm{SO}(n)$ 的表示如何通过反射 $a$ 的共轭作用延拓至 $\mathrm{O}(n)$。
• 构造 $\mathrm{SO}(n+1)$ 上的新球函数 $\Phi^{\tau,\gamma}$，作为结合 $\Phi^{\tau,\pi}$ 与 $\Phi^{\tau,\pi_\phi}$ 的 $2 \times 2$ 块矩阵，其中 $\pi_\phi$ 是 $\pi$ 在 $a$ 下的共轭表示。
• 利用 $\tau(a)V_\pi \simeq V_{\pi_\phi}$ 作为 $\mathrm{SO}(n)$-模的事实，证明在 $V_\pi \oplus \tau(a)V_\pi$ 上诱导的表示 $\gamma$ 是不可约的，且与 $\mathrm{O}(n)$-型 $\gamma$ 等价。
• 利用恒等式 $\cos(2\theta(g)) = \cos(\theta'(g))$ 关联 $S^n$ 与 $\mathbb{R}P^n$ 上的区域球函数，表明 $\varphi_{2j} = \phi_j$ 作为 $\mathrm{SO}(n+1)$ 上的函数。
• 应用雅可比多项式已知恒等式，特别是 $P_{2k}^{(\alpha,\alpha)}(x) = c_k P_k^{(\alpha,-1/2)}(2x^2 - 1)$，将两空间上区域球函数的正交多项式表达式关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 配对 $(\mathrm{SO}(n+1), \mathrm{SO}(n))$ 的不可约球函数与配对 $(\mathrm{SO}(n+1), \mathrm{O}(n))$ 的球函数之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，$S^n$ 上的球函数与 $\mathbb{R}P^n$ 上的球函数重合？
• RQ3 将 $\mathrm{O}(n)$-型球函数与 $\mathrm{SO}(n)$-型球函数对相关联的显式矩阵构造是什么？
• RQ4 区域球函数在 $S^n$ 与 $\mathbb{R}P^n$ 上如何通过其正交多项式表达式相互关联？
• RQ5 能否通过系统化的表示论程序，从 $S^n$ 上的球函数重构出 $\mathbb{R}P^n$ 上的全部球函数？

主要发现

• 当 $n$ 为偶数时，$\mathrm{SO}(n+1)$ 上的函数是类型 $\pi \in \hat{\mathrm{SO}}(n)$ 的不可约球函数，当且仅当它是某类 $\gamma \in \hat{\mathrm{O}}(n)$ 的不可约球函数。
• 当 $n$ 为奇数时，$\mathrm{O}(n)$-型 $\gamma$ 的球函数被构造为结合 $\mathrm{SO}(n)$-型 $\pi$ 与 $\pi_\phi$ 的 $2 \times 2$ 块矩阵，其中 $\pi_\phi$ 是 $\pi$ 在反射 $a \in \mathrm{O}(n) \setminus \mathrm{SO}(n)$ 下的共轭。
• 球函数 $\Phi^{\tau,\gamma}(g)$ 显式给出为矩阵 $\begin{pmatrix} \Phi^{\tau,\pi}(g) & \Phi^{\tau,\pi}(ga) \\ \Phi^{\tau,\pi_\phi}(ga) & \Phi^{\tau,\pi_\phi}(g) \end{pmatrix}$，其满足球函数的定义函数方程。
• 区域球函数在 $S^n$ 与 $\mathbb{R}P^n$ 上的关系为 $\varphi_{2j}^{*}(\theta) = \phi_j^{*}(\theta')$，其中 $\theta' = 2\theta$ 对 $\theta \in [0, \pi/2]$，且 $\cos(2\theta) = \cos(\theta')$。
• 利用恒等式 $P_{2k}^{(\alpha,\alpha)}(\cos\theta) = c_k P_k^{(\alpha,-1/2)}(\cos(2\theta))$，可推出 $\varphi_{2j} = \phi_j$ 作为 $\mathrm{SO}(n+1)$ 上的函数，表明 $\mathbb{R}P^n$ 上的每个区域球函数均为 $S^n$ 上索引为偶数的区域函数。
• 该结果意味着：确定 $S^n$ 上的所有球函数等价于确定 $\mathbb{R}P^n$ 上的所有球函数，因为该对应关系是双射且可显式构造。