[论文解读] Spherically-symmetric solutions in general relativity

Do Young Kim, A. Lasenby+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于四维标架的解法，用于求解球对称时空中的爱因斯坦场方程，提供了一种规范不变、物理可解释的替代方法，以取代勒梅特-托尔曼-邦迪（LTB）模型。该方法能够处理非零压强，避免规范模糊性，并在度规和四维标架两个层面验证了伯克霍夫定理，同时对 $R_{ m h}=ct$ 宇宙学模型的理论基础进行了批判性重新评估。

ABSTRACT

We present a tetrad-based method for solving the Einstein field equations for spherically-symmetric systems and compare it with the widely-used Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) model. In particular, we focus on the issues of gauge ambiguity and the use of comoving versus 'physical' coordinate systems. We also clarify the correspondences between the two approaches, and illustrate their differences by applying them to the classic examples of the Schwarzschild and Friedmann-Robertson-Walker spacetimes. We demonstrate that the tetrad-based method does not suffer from the gauge freedoms inherent to the LTB model, naturally accommodates non-zero pressure and has a more transparent physical interpretation. We further apply our tetrad-based method to a generalised form of 'Swiss cheese' model, which consists of an interior spherical region surrounded by a spherical shell of vacuum that is embedded in an exterior background universe. In general, we allow the fluid in the interior and exterior regions to support pressure, and do not demand that the interior region be compensated. We pay particular attention to the form of the solution in the intervening vacuum region and verify the validity of Birkhoff's theorem at both the metric and tetrad level. We then reconsider critically the original theoretical arguments underlying the so-called $R_h = ct$ cosmological model, which has recently received considerable attention. These considerations in turn illustrate the interesting behaviour of a number of 'horizons' in general cosmological models.

研究动机与目标

• 开发一种规范不变、物理可解释的方法，用于求解广义相对论中球对称时空的爱因斯坦场方程。
• 克服LTB模型固有的规范模糊性和共动坐标局限性，尤其是在具有非零压强的系统中。
• 在真空区域中，于度规和四维标架两个层面验证伯克霍夫定理，特别是在允许压强的广义瑞士干酪模型中。
• 批判性评估 $R_{\rm h}=ct$ 宇宙学模型的理论基础，特别是恒定共动哈勃距离假设的合理性。
• 分析均匀各向同性模型演化过程中，宇宙视界——包括史瓦西视界、哈勃视界和德西特视界——的动力学行为。

提出的方法

• 本文采用源自几何代数的四维标架形式化方法，以传统四维标架记法重新表述，用于求解球对称时空中的爱因斯坦场方程。
• 该方法使用物理（非共动）径向坐标，确保度规分量具有直接的物理意义，避免了共动坐标下的拉格朗日图像。
• 它自然地容纳了内部和外部流体区域中的非零压强，与标准LTB模型假设无压流体形成对比。
• 在流体区域与真空区域的界面处施加边界条件，对真空壳进行仔细处理，以确保连续性和一致性。
• 通过证明四维标架形式下的真空解退化为史瓦西形式，该方法验证了伯克霍夫定理，从而在四维标架层面确认其有效性。
• 该方法被应用于广义瑞士干酪模型，包括一个内部流体区域、一个真空壳和一个外部背景宇宙，所有区域均允许非零压强。

实验结果

研究问题

• RQ1 该四维标架方法是否在保持物理清晰性的同时，消除了LTB模型中存在的规范模糊性？
• RQ2 在球对称时空背景下，特别是针对真空壳和嵌入流体区域，该四维标架方法如何处理非零压强？
• RQ3 伯克霍夫定理是否在四维标架层面成立？真空解如何依赖于周围壳的质量和位置？
• RQ4 $R_{\rm h}=ct$ 宇宙学模型的理论基础是什么？恒定共动哈勃距离的假设在物理上是否合理？
• RQ5 在平坦宇宙和 $\Lambda \neq 0$ 模型中，宇宙视界——包括史瓦西视界、哈勃视界和德西特视界——在共动流体边界演化过程中如何相互作用？

主要发现

• 该四维标架方法成功求解了具有非零压强的球对称系统的爱因斯坦场方程，避免了LTB模型中的规范模糊性。
• 通过使用物理径向坐标，该方法提供了清晰的物理解释，与LTB方法所采用的共动坐标形成鲜明对比。
• 伯克霍夫定理不仅在度规层面得到验证，而且在四维标架层面也明确成立，确认了球对称真空解即为史瓦西解。
• 薄球壳内部的真空区域依赖于壳的质量和位置，证实了在存在壳的情况下，内部势阱比无壳时更深。
• 共动流体边界 $a(t)$ 同时穿过哈勃半径和史瓦西半径，此时边界处流体的速度达到光速 $c$，这一行为在 $\Lambda = 0$ 和 $\Lambda \neq 0$ 模型中均被观察到。
• 在 $\Lambda \neq 0$ 模型中，边界随后同时退出哈勃半径并进入德西特半径，再次发生在流体速度达到 $c$ 的瞬间，表明存在双重视界穿越行为。