[论文解读] Spike-adding and reset-induced canard cycles in adaptive integrate and fire models

Mathieu Desroches, Piotr Kowalczyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2021

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 29被引用 15

一句话总结

本文研究具有分段线性亚阈值动力学和两种重置条件的自适应积分-发放（AIF）模型，证明了对任意整数N，均存在具有N次重置的爆发周期。通过理论分析和将两点边值问题重新表述后的数值延续方法，揭示了N与(N+1)次重置周期之间的发放增加转变由马尔可夫周期组织，尤其在N=2时表现显著。

ABSTRACT

We study a class of planar integrate and fire (IF) models called adaptive integrate and fire (AIF) models, which possesses an adaptation variable on top of membrane potential, and whose subthreshold dynamics is piecewise linear (PWL). These AIF models therefore have two reset conditions, which enable bursting dynamics to emerge for suitable parameter values. Such models can be thought of as hybrid dynamical systems. We consider a particular slow dynamics within AIF models and prove the existence of bursting cycles with $N$ resets, for any integer $N$. Furthermore, we study the transition between $N$- and $(N+1)$-reset cycles upon vanishingly small parameter variations and prove (for $N=2$) that such transitions are organised by canard cycles. Finally, using numerical continuation we compute branches of bursting cycles, including canard-explosive branches, in these AIF models, by suitably recasting the periodic problem as a two-point boundary-value problem.

研究动机与目标

• 研究具有分段线性亚阈值动力学和两种重置条件的自适应积分-发放（AIF）模型中爆发动力学的出现。
• 在特定慢速动力学假设下，证明对任意整数N，存在具有N次重置的极限环。
• 分析N次与(N+1)次重置周期之间的发放增加转变，特别关注马尔可夫周期在组织这些转变中的作用。
• 开发并应用一种数值延续框架，通过将周期问题重新表述为两点边值问题，计算爆发周期，包括马尔可夫爆炸分支。
• 将非光滑AIF模型的动力学与光滑方波爆发模型进行比较，突出其在马尔可夫行为和分岔结构方面的异同。

提出的方法

• 将AIF模型表述为具有分段线性亚阈值动力学和膜电位及适应变量两种重置规则的混合动力系统。
• 使用理论分析，在对慢速适应动力学做出假设的前提下，证明N次重置极限环的存在性。
• 针对从N=2到N=3的发放增加转变，利用几何奇异摄动理论证明了组织该转变的马尔可夫周期的存在性。
• 通过将周期问题重新表述为具有适当边界条件和停止条件的2(N+2)维两点边值问题，应用数值延续方法。
• 该方法可利用AUTO软件包计算出整个N次重置周期分支，包括马尔可夫爆炸区域。
• 该方法包含分岔检测和自动分支切换功能，未来计划进一步提升检测与自动化能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有分段线性动力学和两种重置的AIF模型是否支持任意重置次数N的爆发周期？
• RQ2 AIF模型中N次与(N+1)次重置周期之间的转变是否由马尔可夫周期组织，尤其在N=2时？
• RQ3 该非光滑AIF模型中马尔可夫周期的几何与动力学特性，与光滑慢-快系统中的有何异同？
• RQ4 能否通过将周期问题重新表述为两点边值问题，有效应用于非光滑、基于重置的IF模型的数值延续？
• RQ5 由重置引发的马尔可夫周期对理解AIF模型在可兴奋和爆发状态下的发放增加机制有何启示？

主要发现

• 在对慢速适应动力学做出适当假设的前提下，严格证明了对任意整数N，均存在N次重置的爆发周期。
• 针对从N=2到N=3的发放增加转变，论文证明了组织该转变的马尔可夫周期的存在性，证实了该AIF模型中存在由马尔可夫周期引发的发放增加。
• 通过将问题重新表述为两点边值形式，数值延续成功计算出整个N次重置极限环分支，包括马尔可夫爆炸分支。
• 由于马尔可夫区域的存在，计算出的N次与(N+1)次重置周期分支在参数空间中呈指数接近，表明发放增加转变具有不连续但高度有序的特性。
• 该模型在非光滑框架中表现出两种不同类型的极大马尔可夫周期，其特性与光滑系统不同，源于临界流形的几何结构及重置的存在。
• 尽管分岔结构和临界流形几何存在差异，AIF模型的动力学与光滑方波爆发模型在马尔可夫周期组织转变和塑造爆发方面表现出强烈相似性。