[论文解读] Spin-dependent Bohm trajectories for Pauli and Dirac eigenstates of hydrogen

C. Colijn, Edward R. Vrscay|ArXiv.org|Apr 29, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用 6

一句话总结

该论文将德布罗意-玻姆量子力学的因果解释应用于氢原子本征态，同时使用泡利和狄拉克方程，并引入自旋依赖的引导定律。结果表明，在能量和总角动量本征态下，电子围绕z轴作匀速圆周运动，且在非相对论极限下，非相对论泡利理论与相对论狄拉克理论的结果完全一致。

ABSTRACT

The de Broglie-Bohm causal theory of quantum mechanics is applied to the hydrogen atom in the fully spin-dependent and relativistic framework of the Dirac equation, and in the nonrelativistic but spin-dependent framework of the Pauli equation. Eigenstates are chosen which are simultaneous eigenstates of the energy H, total angular momentum M, and z component of the total angular momentum M_z. We find the trajectories of the electron, and show that in these eigenstates, motion is circular about the z-axis, with constant angular velocity. We compute the rates of revolution for the ground (n=1) state and the n=2 states, and show that there is agreement in the relevant cases between the Dirac and Pauli results, and with earlier results on the Schrodinger equation.

研究动机与目标

• 将德布罗意-玻姆理论扩展至氢原子的相对论性和自旋依赖的范畴，使用狄拉克方程。
• 将自旋依赖的引导定律应用于氢原子的泡利和狄拉克本征态，特别是能量、总角动量及其z分量的共同本征态。
• 计算并比较泡利和狄拉克框架下电子轨迹的角速度，验证在非相对论极限下的自洽性。
• 展示从薛定谔方程、泡利方程和狄拉克方程导出的玻姆轨迹在氢原子态中的协调性。
• 为自旋1/2系统（超越无自旋情形）提供一种系统化的玻姆轨迹计算方法。

提出的方法

• 采用包含自旋依赖动量的德布罗意-玻姆引导关系：$\mathbf{p} = \nabla S + \nabla \log \rho \times \mathbf{s}$，其中 $\rho = \psi^\dagger \psi$。
• 使用狄拉克流 $\mathbf{j} = c \psi^\dagger \boldsymbol{\alpha} \psi$ 和泡利流 $\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^\dagger \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\dagger) + \frac{\hbar}{2m} \nabla \times (\psi^\dagger \boldsymbol{\sigma} \psi)$ 来计算粒子轨迹。
• 在球坐标系中，利用引导关系求解方位角 $\phi(t)$ 的时间演化，假设本征态为哈密顿量 $H$、总角动量 $M$ 和其z分量 $M_z$ 的本征态。
• 在泡利和狄拉克框架下，分别计算 $n=1$ 和 $n=2$ 态（包括 $1s$、$2s$、$2p_0$、$2p_{1/2}$ 和 $2p_{3/2}$ 态）的角速度 $d\phi/dt$。
• 取狄拉克结果的非相对论极限（$c \to \infty$），并与先前基于泡利和薛定谔方程的工作结果进行比较。
• 使用氢原子在 $\psi_{nlm}$ 基下的波函数，对泡利和狄拉克情形使用旋量，显式计算 $\rho$ 和 $\mathbf{j}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当引入自旋和相对论时，氢原子本征态的德布罗意-玻姆轨迹是否仍保持圆形？
• RQ2 狄拉克框架下玻姆轨迹的角速度与泡利和薛定谔框架下的结果相比如何？
• RQ3 基于狄拉克方程的玻姆轨迹在非相对论极限下是否与泡利和薛定谔的结果一致？
• RQ4 引导关系中的自旋依赖项在实值本征态中如何生成轨道运动？
• RQ5 玻姆轨迹方法能否在相对论量子力学中一致地从无自旋系统推广到自旋1/2系统？

主要发现

• 对于所研究的所有氢原子本征态，电子在恒定 $z$ 平面内作匀速圆周运动，角速度 $d\phi/dt$ 恒定。
• 对于 $1s$ 态，角速度为 $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{m_e a r^2}$，与非相对论薛定谔结果一致。
• 对于 $n=2$ 态，角速度依赖于 $\theta$ 和 $r$，在非相对论极限下为 $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{m_e a r^2} \left(3 - \frac{r}{2a}\right)$。
• 狄拉克方程的非相对论极限所得到的角速度与泡利结果完全一致，证实了不同理论框架之间的自洽性。
• 对于 $2p_{3/2}$ 态，角速度为 $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\hbar}{2m_e a r} \left( \frac{8\cos^2\theta - \sin^2\theta}{4\cos^2\theta + \sin^2\theta} \right)$，在 $c \to \infty$ 极限下退化为泡利形式。
• 在本征态为自旋本征态的情形（如 $1s$、$2s$、$2p_0$），泡利轨迹与早期基于薛定谔方程的玻姆轨迹在定量上完全一致。