[论文解读] Spin Geometry and Some Applications

Ümit Ertem|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Algebraic and Geometric Analysis被引用 2

一句话总结

本综述建立了一个全面的框架，将旋量几何与理论物理及凝聚态物理联系起来，展示了克莱夫福德代数、扭量与基灵旋量以及狄拉克算子指标如何构成拓扑绝缘体和超导体分类的基础。该综述从克莱夫福德代数的“棋盘”结构和阿蒂亚-辛格指标定理推导出拓扑相的周期表，同时通过旋量双线性型与对称性算子构造了扩展的超代数。

ABSTRACT

In this review, basic definitions of spin geometry are given and some of its applications to supersymmetry, supergravity and condensed matter physics are summarized. Clifford algebras and spinors are defined and the first-order differential operators on spinors which lead to the definitions of twistor and Killing spinors are discussed. Holonomy classification for manifolds admitting parallel and Killing spinors are given. Killing-Yano and conformal Killing-Yano forms resulting from the spinor bilinears of Killing and twistor spinors are introduced and the symmetry operators of special spinor equations are constructed in terms of them. Spinor bilinears and symmetry operators are used for constructing the extended superalgebras from twistor and Killing spinors. A method to obtain harmonic spinors from twistor spinors and potential forms is given and its implications on finding solutions of the Seiberg-Witten equations are discussed. Supergravity Killing spinors defined in bosonic supergravity theories are considered and possible Lie algebra structures satisfied by their spinor bilinears are examined. Spin raising and lowering operators for massless field equations with different spins are constructed and the case for Rarita-Schwinger fields is investigated. The derivation of the periodic table of topological insulators and superconductors in terms of Clifford chessboard and index of Dirac operators is summarized.

研究动机与目标

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• 建立一个统一的数学框架，将旋量几何与物质的拓扑相联系起来。
• 从克莱夫福德代数结构和狄拉克算子指标推导出拓扑绝缘体与超导体的周期表。
• 探讨特殊旋量——扭量、基灵与调和旋量——在构造扩展超代数和对称性算子中的作用。
• 利用旋量几何阐明凝聚态系统中拓扑不变量的几何与拓扑起源。

提出的方法

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• 利用旋量流形上的克莱夫福德代数与旋量丛定义狄拉克算子与扭量算子。
• 应用仿射Holonomy分类以表征存在平行与基灵旋量的流形。
• 通过旋量双线性型构造基灵-雅诺与共形基灵-雅诺形式，进而生成对称性算子。
• 从克莱夫福德代数的“棋盘”结构和实与复狄拉克算子的阿蒂亚-辛格指标定理推导出拓扑绝缘体的周期表。
• 利用旋量双线性型与势形式从扭量旋量生成调和旋量，从而与赛伯格-威滕理论建立联系。
• 研究超引力中的基灵旋量及其双线性形式，以探索超引力背景中可能存在的李代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 .
• RQ2 扭量与基灵旋量的旋量双线性型如何生成如KY与CKY形式等隐藏对称性？
• RQ3 狄拉克算子指标与拓扑绝缘体分类之间精确的几何与拓扑机制是什么？
• RQ4 由KY/CKY形式构造的对称性算子如何在超对称理论中扩展超代数？
• RQ5 从扭量旋量导出的调和旋量在求解赛伯格-威滕方程中起什么作用？
• RQ6 克莱夫福德代数的“棋盘”结构如何在实类与复类中共同导致拓扑相的周期表？

主要发现

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• 拓扑绝缘体与超导体的周期表由克莱夫福德代数的“棋盘”结构和实狄拉克算子的指标推导得出，其指标取值于Z、Z2或dim(Hk(mod 2))。
• 实克莱夫福德丛Cl∗k上的狄拉克算子̸Dk的指标为：当k ≡ 0 (mod 8)时为bA(M)，当k ≡ 4 (mod 8)时为1/2 bA(M)，当k ≡ 1,2 (mod 8)时分别为dimCHk(mod 2)或dimHHk(mod 2)。
• 球丛的K-理论群K−(s−n)(mod 8)R(pt)恰好对应实类的周期表，稳定向量丛的同构类生成了Z与Z2不变量。
• 为不同自旋的无质量场构造了旋量升算符与降算符，并对高自旋 gauge 理论中的拉瑞塔-施温格场进行了详细分析。
• 可通过势形式从扭量旋量系统地获得调和旋量，从而提供一种构造赛伯格-威滕方程解的方法。
• 对超引力基灵旋量的分类导出了其旋量双线性型可能对应的候选李代数结构，暗示了超对称背景中更深层次的代数结构。