[论文解读] Spin symmetry breaking in the translation-invariant Hartree-Fock electron gas

David Gontier, Mathieu Lewin|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 30被引用 8

一句话总结

本文严格证明了在零温下，对于三维库仑相互作用，平移不变的哈特ree-fock电子气存在自旋对称性自发破缺，展示了从低密度时的铁磁相到高密度时的顺磁相的一级相变。在正温度下，数值计算揭示了一个铁磁区域，通过一级或二级相变与顺磁相分离，且在高温或高密度下，严格证明了解的唯一性与顺磁性。

ABSTRACT

We study the breaking of spin symmetry for the nonlinear Hartree-Fock model describing an infinite translation-invariant interacting quantum gas (fluid phase). At zero temperature and for the Coulomb interaction in three space dimensions, we can prove the existence of a unique first order transition between a pure ferromagnetic phase at low density and a paramagnetic phase at high density. Multiple first or second order transitions can happen for other interaction potentials, as we illustrate on some examples. At positive temperature $T>0$ we compute numerically the phase diagram in the Coulomb case. We find the paramagnetic phase at high temperature or high density and a region where the system is ferromagnetic. We prove that the equilibrium state is unique and paramagnetic at high temperature or high density.

研究动机与目标

• 在零温下，严格建立平移不变哈特ree-fock模型中，铁磁相与顺磁相之间的一级相变的存在性。
• 分析一般相互作用势下哈特ree-fock模型中自旋对称性破缺的作用，表明根据势的形式，可能产生多种相变。
• 使用数值方法计算并分析三维库仑相互作用在正温度下的相图。
• 尽管在固定化学势下解不唯一，但严格证明在高温或高密度下，平衡态具有唯一性与顺磁性。
• 为理解量子费米子气体中的平均场行为提供数学基础，尤其针对密度泛函理论中相关的均匀电子气（UEG）模型。

提出的方法

• 将哈特ree-fock模型表述为在傅里叶空间中以矩阵值函数 γ(k) 表示的平移不变费米子单体密度矩阵的最小化问题。
• 施加约束条件：点态满足 0 ≤ γ(k) ≤ I₂，且 ∫tr[γ(k)]dk = (2π)^d ρ，以确保泡利不相容原理与正确密度。
• 将问题约化为涉及化学势 μ 与交换项的非线性积分方程，其中凹的交换项与凸的熵项相互竞争。
• 使用移动平面法与反射对称性论证，证明解 g 与势 V 的径向对称性与单调性，确立其径向递减行为。
• 应用变分技术和不动点分析，表明在固定 μ 下解不唯一，这构成了自旋对称性破缺的根本原因。
• 对三维库仑情况在 T > 0 下的相图进行数值计算，使用傅里叶空间中非线性系统的迭代求解器。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于三维库仑相互作用，平移不变电子气的哈特ree-fock模型在零温下是否表现出从铁磁序到顺磁序的一级相变？
• RQ2 自旋对称性破缺是否可能出现在除库仑势以外的其他相互作用势下？若可能，可能出现的一级或二级相变类型为何？
• RQ3 在正温度下，相图的结构如何？铁磁序与顺磁序区域如何随温度与密度变化？
• RQ4 为何在固定化学势下，平衡态不唯一？这种不唯一性如何导致自旋对称性破缺？
• RQ5 在何种条件下可严格证明平衡态具有唯一性与顺磁性？

主要发现

• 严格证明了在三维库仑相互作用下，零温时存在从铁磁相（所有自旋平行）到顺磁相（自旋无关联）的一级相变。
• 在高温或高密度下，平衡态具有唯一性与顺磁性，通过解的有界性与对称性论证严格确立。
• 在 T > 0 下的相图数值计算揭示，铁磁有序区域通过一级或二级相变与顺磁相分离，具体取决于 T 与 ρ。
• 在固定化学势下解的不唯一性源于凹的交换项与凸的熵项之间的竞争，这是自旋对称性破缺的根本机制。
• 通过移动平面法证明解 γ(k) 与关联势 V 具有径向性与递减性，确立了密度矩阵与平均场势的对称性与单调性。
• 对于非径向相互作用，若 V 与 g 不具径向对称性，则在反射对称性下产生矛盾，从而证明解必须为径向且递减。