[论文解读] Splitting methods for SDEs with locally Lipschitz drift. An illustration on the FitzHugh-Nagumo model

Evelyn Buckwar, Adeline Samson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 61被引用 4

一句话总结

本文提出了一类用于带局部Lipschitz漂移和加性噪声的SDE的显式数值分裂方法，证明了其均方收敛阶为1，同时保持了关键的结构性质——次椭球性、几何遍历性、有界二阶矩以及振荡动力学，在长时模拟和FitzHugh-Nagumo等模型的统计推断中，优于标准的Euler-Maruyama变体。

ABSTRACT

In this article, we construct and analyse explicit numerical splitting methods for a class of semi-linear stochastic differential equations (SDEs) with additive noise, where the drift is allowed to grow polynomially and satisfies a global one-sided Lipschitz condition. The methods are proved to be mean-square convergent of order 1 and to preserve important structural properties of the SDE. In particular, first, they are hypoelliptic in every iteration step. Second, they are geometrically ergodic and have asymptotically bounded second moments. Third, they preserve oscillatory dynamics, such as amplitudes, frequencies and phases of oscillations, even for large time steps. Our results are illustrated on the stochastic FitzHugh-Nagumo model and compared with known mean-square convergent tamed/truncated variants of the Euler-Maruyama method. The capability of the proposed splitting methods to preserve the aforementioned properties makes them applicable within different statistical inference procedures. In contrast, known Euler-Maruyama type methods commonly fail in preserving such properties, yielding ill-conditioned likelihood-based estimation tools or computationally infeasible simulation-based inference algorithms.

研究动机与目标

• 开发适用于漂移项多项式增长且带加性噪声的半线性SDE的数值方法，确保在离散化下保持结构性质。
• 解决标准Euler-Maruyama型方法在长时程下无法保持振荡动力学和统计推断有效性的问题。
• 在每一步迭代中确保均方收敛阶为1，同时保持次椭球性、几何遍历性和有界二阶矩。
• 展示分裂方法在保持振荡特征（如振幅、频率和相位）方面优于受限制/截断的Euler-Maruyama方案，尤其在大时间步长下。

提出的方法

• 该方法将SDE分解为线性和非线性部分，分别以精确或高阶精度求解。
• 通过精确积分线性部分并用数值方法近似非线性漂移与加性噪声，构建显式分裂格式。
• 通过分裂过程保持噪声结构，确保每一步时间推进均满足次椭球性。
• 收敛性分析基于全局单边Lipschitz条件与漂移项的多项式增长，保证均方收敛阶为1。
• 通过精心设计的分裂策略实现结构性质的保持，维持长期统计特性（如几何遍历性）。
• 将该方法应用于随机FitzHugh-Nagumo模型，以验证其相对于受限制和截断Euler-Maruyama方案的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式分裂方法能否实现具有局部Lipschitz漂移和加性噪声的SDE的均方收敛阶1？
• RQ2 分裂方法是否在每一步迭代中保持次椭球性、几何遍历性和有界二阶矩？
• RQ3 与Euler-Maruyama变体相比，分裂方法在保持振荡动力学（振幅、频率和相位）方面表现如何，特别是在大时间步长下？
• RQ4 分裂方法在涉及长时模拟的统计推断任务中是否优于受限制和截断的Euler-Maruyama方案？
• RQ5 该分裂方法保持了SDE的哪些结构性质？这些性质如何影响基于似然的估计与基于模拟的推断？

主要发现

• 所提出的分裂方法在满足全局单边Lipschitz条件的多项式增长漂移SDE下，实现了均方收敛阶1。
• 每一步迭代均保持次椭球性，确保数值格式维持实现遍历性所必需的噪声结构。
• 该方法具有几何遍历性，并表现出渐近有界的二阶矩，这对长时模拟的稳定性至关重要。
• 分裂方法成功保持了振荡动力学，包括振幅、频率和相位，即使在大时间步长下亦然。
• 与Euler-Maruyama变体相比，分裂方法避免了在统计过程中出现病态似然和计算上不可行的推断算法。
• 在FitzHugh-Nagumo模型上的实证验证表明，该方法在长时程下更优地保持了结构性质与动力学特性。