[论文解读] Square of General Relativity

D.V. Gal’tsov|ArXiv.org|Aug 8, 1996

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

该论文提出，在四维空间中，与p个U(1)规范场耦合的标度子-轴子引力理论——当p=6时对应N=4超引力——相对于真空广义相对论表现出一种“平方”结构。通过维度约化和目标空间几何方法，该理论可约化为在对称空间SO(2,2+p)/(SO(2)×SO(2+p))上的σ模型，其Kähler势能等于爱因斯坦框架下g₀₀乘以标度子因子的对数，该势能在对偶变换和一般目标空间等距变换下保持不变。

ABSTRACT

We consider dilaton--axion gravity interacting with $p\;\, U(1)$ vectors ($p=6$ corresponding to $N=4$ supergravity) in four--dimensional spacetime admitting a non--null Killing vector field. It is argued that this theory exibits features of a ``square'' of vacuum General Relativity. In the three--dimensional formulation it is equivalent to a gravity coupled $σ$--model with the $(4+2p)$--dimensional target space $SO(2,2+p)/(SO(2) imes SO(2+p))$. Kähler coordinates are introduced on the target manifold generalising Ernst potentials of General Relativity. The corresponding Kähler potential is found to be equal to the logarithm of the product of the four--dimensional metric component $g_{00}$ in the Einstein frame and the dilaton factor, independently on presence of vector fields. The Kähler potential is invariant under exchange of the Ernst potential and the complex axidilaton field, while it undergoes holomorphic/antiholomorphic transformations under general target space isometries. The ``square'' property is also manifest in the two--dimensional reduction of the theory as a matrix generalization of the Kramer--Neugebauer map.

研究动机与目标

• 识别扩展引力理论与真空广义相对论之间的结构‘平方’关系。
• 分析在存在非零Killing向量时，标度子-轴子引力与p个U(1)规范场的三维有效理论。
• 在目标流形上构造一个广义化广义相对论中Ernst势能的Kähler势能。
• 确立Kähler势能在对偶变换和全纯/反全纯变换下的不变性性质。
• 展示二维约化中Kramer–Neugebauer映射的矩阵推广。

提出的方法

• 利用非零Killing向量将含p个U(1)规范场的四维理论约化为三维理论。
• 识别所得σ模型的目标空间为p=6时的SO(2,2+p)/(SO(2)×SO(2+p))。
• 在目标流形上引入Kähler坐标，以推广Ernst势能形式。
• 将Kähler势能推导为爱因斯坦框架下g₀₀与标度子因子乘积的对数。
• 分析Kähler势能在交换Ernst势能与复轴标度子场下的不变性。
• 应用一般目标空间等距变换，以揭示Kähler势能在全纯与反全纯变换下的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当p=6个U(1)规范场时，标度子-轴子引力是否相对于真空广义相对论表现出结构上的‘平方’特性？
• RQ2 该扩展理论中目标流形上的Kähler势能如何推广广义相对论中的Ernst势能？
• RQ3 Kähler势能关于度量与标度子场的显式形式是什么？
• RQ4 Kähler势能在对偶对称性与一般目标空间等距变换下如何变换？
• RQ5 该理论的二维约化能否被解释为Kramer–Neugebauer映射的矩阵推广？

主要发现

• 三维有效理论等价于在对称空间SO(2,2+p)/(SO(2)×SO(2+p))上的σ模型，其中p=6。
• Kähler势能被明确求得为爱因斯坦框架下g₀₀与标度子因子乘积的对数。
• Kähler势能在交换Ernst势能与复轴标度子场时保持不变。
• Kähler势能按照一般目标空间等距变换的性质，表现出全纯与反全纯变换行为。
• 二维约化实现了Kramer–Neugebauer映射的矩阵推广。
• Kähler势能不依赖于规范场的存在，仅依赖于g₀₀与标度子。