[论文解读] SRB and equilibrium measures via dimension theory

Vaughn Climenhaga|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于维数理论方法的新构造，用于均匀双曲流的西纳-鲁埃-鲍文（SRB）测度与平衡测度，具体通过双向鲍温球（two-sided Bowen balls）及由拓扑压强导出的标度性质实现。关键贡献是通过覆盖中这些球的极限下确界，给出平衡测度的直接公式，其中权重包含雅可比行列式与时间标度，精确建立了光滑动力系统中维数理论与热力学形式主义之间的联系。

ABSTRACT

It is well-known that SRB and equilibrium measures for uniformly hyperbolic flows admit a product structure in terms of measures on stable and unstable leaves with scaling properties given by the potential function. We describe a construction of these leaf measures analogous to the definition of Hausdorff measure, relying on the Pesin-Pitskel' description of topological pressure as a dimensional characteristic using Bowen balls. These leaf measures were constructed for discrete-time systems by the author, Ya. Pesin, and A. Zelerowicz. In the continuous-time setting here, the description of the scaling properties is more complete, and we use a similar procedure with two-sided Bowen balls to directly produce the equilibrium measure itself.

研究动机与目标

• 通过维数理论工具，建立均匀双曲流平衡测度的新构造。
• 通过几何标度方法，统一拓扑压强、豪斯多夫型测度与平衡态的概念。
• 在无需先构造稳定/不稳定叶面上条件测度的前提下，提供平衡测度的直接公式。
• 将先前离散时间系统的构造推广至连续时间系统，提升标度性与结构清晰度。
• 证明平衡测度自然地作为由动力鲍温球定义的一维外测度族中的临界测度出现。

提出的方法

• 构造使用双向鲍温球 $B^{*}_{s,t}(x,r)$，其定义基于时间区间 $[-s,t]$ 上的均匀动力分离，以及通过流的局部积结构实现的受控横截相交条件。
• 通过在不同时间尺度的球集合上使用权重 $e^{\Phi(x,t) - t\alpha}$ 定义外测度 $m^\alpha$，其构造方式类似于豪斯多夫测度的构造。
• 平衡测度作为 $\alpha = P(\varphi)$ 时的临界测度被恢复，此时测度从无穷变为零，类似于维数理论中的情形。
• 该方法依赖于佩辛–皮茨凯尔（Pesin–Pitskel’）对拓扑压强的描述，即将其视为使用鲍温球的维数特征。
• 利用流不变性与畸变估计，将 $B^{*}_{s,t}(x,r)$ 上的测度与标准鲍温球 $B_t(x,r)$ 上的测度进行比较，建立标度界限。
• 最终，平衡测度 $\mu(Z)$ 的公式表示为对 $B^{*}_{s,t}(x,r)$ 覆盖的极限下确界，权重为 $\frac{c}{s+t} \det(Df_{s+t}|_{E^{\mathrm{u}}_{f_{-s}(x)}}})^{-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不先构造叶面上条件测度的前提下，通过维数理论方法直接构造均匀双曲流的平衡测度？
• RQ2 双向鲍温球如何捕捉恢复平衡测度所必需的正确标度行为？
• RQ3 拓扑压强与由动力球构造的类维数测度的临界值之间存在何种精确关系？
• RQ4 SRB测度能否作为由动力球与势函数权重定义的一族一维外测度中唯一的测度被恢复？
• RQ5 所提出的构造是否能给出一个既具有几何直观性又具备分析严谨性的平衡测度公式？

主要发现

• 在双曲吸引子 $\Lambda$ 上，SRB测度 $\mu$ 由 $\mu(Z) = \lim_{T\to\infty} \inf \sum_{(x,s,t)\in\mathcal{E}} \frac{c}{s+t} \det(Df_{s+t}|_{E^{\mathrm{u}}_{f_{-s}(x)}}})^{-1}$ 给出，其中 $Z\subset\Lambda$ 为任意博雷尔集，下确界取遍对双向鲍温球 $B^{*}_{s,t}(x,r)$ 的覆盖。
• 平衡测度 $\mu$ 关于双向球满足吉布斯性质：$\mu(B^{*}_{s,t}(x,r)) = C_9^{\pm 1} (s+t)^{-1} e^{\Phi(f_{-s}x,s+t) - (s+t)P(\varphi)}$。
• 通过 $m^\alpha(Z) = \lim_{T\to\infty} \inf \sum_{(x,t)\in\mathcal{E}} e^{\Phi(x,t) - t\alpha}$ 定义的外测度 $m^\alpha$ 具有临界值 $\alpha = P(\varphi)$，在此处测度由无穷变为零，且该临界测度对应于平衡测度。
• 该构造建立了动力球维数标度与热力学形式主义之间的直接联系，表明平衡测度自然地作为具有正确标度行为的唯一测度出现。
• 该方法证明了无需预先构造稳定与不稳定流形上的条件测度，仅通过使用双向球的全局覆盖程序即可恢复平衡测度。
• 证明依赖于畸变界与流不变性，将 $B^{*}_{s,t}(x,r)$ 上的测度与标准鲍温球上的测度进行比较，获得统一的估计，从而验证了标度与权重公式的正确性。