[论文解读] Stability and invariants of Hilsum-Skandalis maps

J. Mrčun|ArXiv.org|Jun 23, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 42

一句话总结

本文通过在巴拿赫空间上建模的étale $ C^1 $-群胚上引入线性holonomy同态，建立了Hilsum-Skandalis映射（即拓扑群胚上的广义叶状结构）的叶的稳定性定理。该工作将Reeb-Thurston和Haefliger-Reeb-Ehresmann稳定性定理推广到此设定，证明在温和条件下，具有有限生成的线性holonomy同态核的紧致叶，其邻域中也全为紧致叶。

ABSTRACT

We consider principal bundles as generalized morphisms between topological groupoids. In the category of these generalized morphisms two topological groupoids are isomorphic if and only if they are Morita equivalent. We show that the fibers of a generalized morphism from H to G induce a singular foliation of the topological groupoid H, and we prove a Reeb-Thurston stability theorem for such foliations. Next, we use generalized morphisms to study some Morita invariants of topological groupoids, in particular the homotopy groups of a topological groupoid and the Connes convolution algebra of an etale groupoid.

研究动机与目标

• 将叶状结构的经典稳定性定理推广至拓扑群胚之间Hilsum-Skandalis映射的框架。
• 为Hilsum-Skandalis映射的叶定义并研究取值于巴拿赫空间上étale $ C^1 $-群胚的线性holonomy同态 $ d ilde{H}_L $。
• 建立在叶的轨道空间为紧致且 $ d ilde{H}_L $ 的核为有限生成的条件下，该叶具有全由紧致叶组成的邻域的条件。
• 通过群胚态射与双bundle的语言，统一并推广叶状理论中的现有稳定性结果。
• 证明Hilsum-Skandalis映射的范畴通过Morita等价关系，能够捕捉广义叶状结构及其横截结构。

提出的方法

• 将线性holonomy同态 $ d ilde{H}_L $ 定义为 $ ilde{H}(L) $ 的基本群在 $ G_0 $ 上某基点处切空间上的表示。
• 利用主 $ G $-$ H $-双bundle 的结构，将Hilsum-Skandalis映射建模为 $ H $ 上的广义叶状结构。
• 通过约化技术，将稳定性证明归约为拓扑空间之间连续映射的情形。
• 应用单位分解方法，并对基本对 $ (m_i, m'_i) $ 进行归一化，以分解并分析截面的支撑结构。
• 通过归纳法与局部坐标约化处理一般情形，依赖引理V.3.5与V.3.6对截面进行归一化与局部化。
• 建立 $ C^r_c $-构造在 $ C^r $-群胚范畴上的函子性，将其与代数的Morita等价联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有紧致轨道空间的Hilsum-Skandalis映射的叶，其邻域中全为紧致叶？
• RQ2 Reeb-Thurston稳定性定理如何推广至取值于巴拿赫空间上 $ C^1 $-群胚的Hilsum-Skandalis映射？
• RQ3 线性holonomy同态 $ d ilde{H}_L $ 在决定叶的稳定性中起什么作用？
• RQ4 特别是，$ d ilde{H}_L $ 的核的性质（尤其是有限生成性）如何影响叶空间的局部结构？
• RQ5 Hilsum-Skandalis映射以何种方式推广Haefliger结构，并捕捉叶状结构的横截几何？

主要发现

• 线性holonomy同态 $ d ilde{H}_L $ 被定义为 $ ilde{H}(L) $ 的基本群在 $ G_0 $ 的切空间上的表示，为holonomy作用提供了线性逼近。
• 若 $ d ilde{H}_L $ 的核为有限生成且叶的轨道空间为紧致，则该叶具有全由紧致叶组成的邻域。
• 证明归约为连续映射之间拓扑空间的情形，利用了 $ C^r_c $-构造的函子性。
• 证明Hilsum-Skandalis映射的范畴在复合下封闭，并包含拓扑空间作为全子范畴。
• $ C^r_c $-构造给出了从 $ C^r $-群胚范畴到代数范畴的函子，且群胚的Morita等价蕴含其 $ C^r_c $-代数的Morita等价。
• 若映射 $ ilde{H}( ilde{H}(L)) \to \tilde{H}(G) $ 在 $ \tilde{H}(L) $ 的基本群上消失，则该叶在广义意义下是稳定的。