[论文解读] Stability conditions for the explicit integration of projection based nonlinear reduced-order and hyper reduced structural mechanics finite element models

C. Bach, Linze Song+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 41被引用 5

一句话总结

本文提供了严格的理论分析，证明在结构力学中，基于Galerkin投影的非线性降阶模型（ROM）在使用显式中心差分时间积分时，其稳定时间步长不小于全阶模型。关键贡献在于一个数学证明，表明由于基底截断导致的特征值分离增强了数值稳定性，从而允许使用更大的时间步长，实现更快的模拟，且不损失稳定性。

ABSTRACT

Projection-based nonlinear model order reduction methods can be used to reduce simulation times for the solution of many PDE-constrained problems. It has been observed in literature that such nonlinear reduced-order models (ROMs) based on Galerkin projection sometimes exhibit much larger stable time step sizes than their unreduced counterparts. This work provides a detailed theoretical analysis of this phenomenon for structural mechanics. We first show that many desirable system matrix properties are preserved by the Galerkin projection. Next, we prove that the eigenvalues of the linearized Galerkin reduced-order system separate the eigenvalues of the linearized original system. Assuming non-negative Rayleigh damping and a time integration using the popular central difference method, we further prove that the theoretical linear stability time step of the ROM is in fact always larger than or equal to the critical time step of its corresponding full-order model. We also give mathematical expressions for computing the stable time step size. Finally, we show that under certain conditions this increase in the stability time step even extends to some hyper-reduction methods. The findings can be used to compute numerical stability time step sizes for the integration of nonlinear ROMs in structural mechanics, and to speed up simulations by permitting the use of larger time steps.

研究动机与目标

• 解释文献中观察到的现象：显式积分的ROM比全阶模型具有更大的稳定时间步长。
• 严格分析基于Galerkin投影的非线性ROM在显式时间积分下的数值稳定性。
• 建立ROM继承或超越全阶模型稳定性的数学条件。
• 研究这种稳定性增强是否适用于如DEIM和ECSW等超还原方法。
• 量化降阶基（ROB）对系统特征值及稳定时间步长的影响。

提出的方法

• 推导基于Galerkin投影的ROM的线性化系统方程，并分析所得系统矩阵的特征值结构。
• 证明线性化ROM系统的特征值与全阶模型的特征值交错，从而确保稳定性提升。
• 应用中心差分法进行时间积分，并基于特征值边界推导理论稳定性条件。
• 分析非负瑞利阻尼以及M-正交或半正交降阶基对稳定性的影响。
• 评估超还原技术（DEIM和ECSW）在保持对称性、正定性及特征值交错性方面的表现。
• 利用矩阵理论与谱分析，推导ROM中稳定时间步长的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何基于Galerkin投影的结构力学ROM在使用显式积分时，通常比其全阶模型允许更大的稳定时间步长？
• RQ2 在何种数学条件下，ROM的线性稳定性时间步长会超过或等于全阶模型？
• RQ3 在使用DEIM或ECSW的超还原模型中，这种稳定性增强在多大程度上得以保持？
• RQ4 降阶基（ROB）的选择如何影响特征值分布，从而影响ROM的稳定性？
• RQ5 系统矩阵的何种结构特性（如对称性、正定性）对于在ROM中保持或提升稳定性至关重要？

主要发现

• 线性化Galerkin ROM系统的特征值与全阶模型的特征值交错，确保ROM的最大特征值不大于全阶模型的最大特征值。
• 对于非负瑞利阻尼以及半正交或M-正交降阶基，ROM的理论线性稳定性时间步长始终大于或等于全阶模型。
• 稳定性增强的根本原因在于基底的正确正交截断所引起的特征值分离。
• 通过DEIM进行超还原无法保持特征值交错性或矩阵对称性，可能导致稳定性降低。
• ECSW保持了矩阵对称性和半正定性，但不一定保持特征值交错性，因此表现出中间水平的稳定性。
• 研究结果使得在线ROM模拟中可采用更大的时间步长，直接提升计算性能，且不损害稳定性。