[论文解读] Stability conditions on $ ext{CY}_N$ categories associated to $A_n$-quivers and period maps

Akishi Ikeda|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文通过将具有单零点的 $n+1$ 次多项式空间的万有覆叠识别为与 $A_n$-quiver 关联的 $Χ_N$ 类型 $\mathrm{CY}_N$ categories 的稳定性条件空间的几何实现，建立了该空间的几何模型。利用二次微分 $p_n(z)^{N-2}dz^2$ 的周期，作者构造了中心电荷，并证明了稳定性主丛的特殊连通分支同构于该万有覆叠，从而将 Bridgeland-Smith 在 $Χ_3$ 类型 categories 上的框架推广至高维 Calabi-Yau categories。

ABSTRACT

In this paper, we study the space of stability conditions on a certain $N$-Calabi-Yau ($ ext{CY}_N$) category associated to an $A_n$-quiver. Recently, Bridgeland and Smith constructed stability conditions on some $ ext{CY}_3$ categories from meromorphic quadratic differentials with simple zeros. Generalizing their results to higher dimensional Calabi-Yau categories, we describe the space of stability conditions as the universal cover of the space of polynomials of degree $n+1$ with simple zeros. In particular, central charges of stability conditions on $ ext{CY}_N$ categories are constructed as the periods of quadratic differentials with zeros of order $N-2$ which are associated to polynomials.

研究动机与目标

• 描述与 $A_n$-quiver 关联的 $Χ_N$ 类型 categories 的稳定性条件空间。
• 将 Bridgeland 与 Smith 对 $Χ_3$ 类型 categories 构造稳定性条件的框架推广至更高维的 $Χ_N$ 类型 categories。
• 将稳定性主丛的特殊连通分支识别为具有单零点的 $n+1$ 次多项式空间的万有覆叠。
• 通过 $π^1$ 上的二次微分 $p_n(z)^{N-2}dz^\otimes 2$ 的周期构造中心电荷。

提出的方法

• 将 $Χ_N$ 类型 category $\mathcal{D}_n^N$ 定义为 $A_n$-quiver 的 Ginzburg 代数的有限维 dg 模的导出范畴。
• 利用 $A_n$ 奇点 $x_1^2 + \cdots + x_N^2 = p_n(z)$ 的几何结构，将拉格朗日子 $N$-球面解释为连接 $p_n(z)$ 的根的路径上的 $S^{N-1}$-纤维丛。
• 通过复平面上路径 $\gamma$ 上的周期 $\int_\gamma p_n(z)^{(N-2)/2} dz$ 构造中心电荷。
• 为二次微分 $\phi = p_n(z)^{N-2} dz^\otimes 2$ 定义同调群 $H_\pm(\phi)$ 以形式化周期映射。
• 利用 Bridgeland 与 Smith 的结果，证明周期映射诱导出从万有覆叠 $\widetilde{M}_n$ 到 $\mathrm{Stab}^\circ(\mathcal{D}_n^N)$ 的 $B_{n+1}$-等变同构。
• 建立自同构群 $\operatorname{Aut}^\circ(\mathcal{D}_n^N)$ 为商群 $(B_{n+1} \times \mathbb{Z}) / d_n^N \mathbb{Z}$，从而将 braid 群作用与移位函子联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何几何实现与 $A_n$-quiver 关联的 $Χ_N$ 类型 categories 的稳定性条件？
• RQ2 稳定性主丛 $\mathrm{Stab}^\circ(\mathcal{D}_n^N)$ 的特殊连通分支的拓扑结构是什么？
• RQ3 这些稳定性条件中的中心电荷如何与阶数为 $N-2$ 的零点的二次微分周期相关？
• RQ4 Bridgeland 与 Smith 对 $Χ_3$ 类型 categories 的框架能否推广至更高维的 $Χ_N$ 类型 categories？
• RQ5 保持交换图特殊连通分支的自同构群是什么？

主要发现

• 特殊连通分支 $\mathrm{Stab}^\circ(\mathcal{D}_n^N)$ 同构于具有单零点的 $n+1$ 次多项式空间的万有覆叠 $\widetilde{M}_n$。
• 稳定性条件的中心电荷通过微分 $p_n(z)^{N-2} dz^\otimes 2$ 沿路径 $\gamma$ 的周期 $\int_\gamma p_n(z)^{(N-2)/2} dz$ 实现。
• 周期映射诱导出 $B_{n+1}$-等变同构 $\widetilde{K}_N: \widetilde{M}_n \xrightarrow{\sim} \mathrm{Stab}^\circ(\mathcal{D}_n^N)$，从而确立了几何模型。
• 空间 $\mathrm{Stab}^\circ(\mathcal{D}_n^N)$ 是可缩的，因为它同构于单连通的万有覆叠 $\widetilde{M}_n$。
• 自同构群 $\operatorname{Aut}^\circ(\mathcal{D}_n^N)$ 满足短正合列 $1 \to \operatorname{Br}(\mathcal{D}_n^N) \to \operatorname{Aut}^\circ(\mathcal{D}_n^N) \to \mathbb{Z}/d_n^N\mathbb{Z} \to 1$，其中 $\operatorname{Br}(\mathcal{D}_n^N) \cong B_{n+1}$。
• 完整自同构群为 $\operatorname{Aut}^\circ(\mathcal{D}_n^N) \cong (B_{n+1} \times \mathbb{Z}) / d_n^N \mathbb{Z}$，其中 $\mathbb{Z}$-因子对应于移位函子 $[1]$。