[论文解读] Stability for the inverse source problems in elastic and electromagnetic waves

Gang Bao, Peijun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文通过使用多频数据，建立了弹性波和电磁波反源问题的唯一性和稳定性。通过利用积分方程、解析延拓以及格林张量的渐近展开，证明了稳定性递增：随着频带拓宽，由于高频尾部的减小，重建误差降低，从而克服了仅使用狄利克雷数据时的不适定性。

ABSTRACT

This paper concerns the inverse source problems for the time-harmonic elastic and electromagnetic wave equations. The goal is to determine the external force and the electric current density from boundary measurements of the radiated wave field, respectively. The problems are challenging due to the ill-posedness and complex model systems. Uniqueness and stability are established for both of the inverse source problems. Based on either continuous or discrete multi-frequency data, a unified increasing stability theory is developed. The stability estimates consist of two parts: the Lipschitz type data discrepancy and the high frequency tail of the source functions. As the upper bound of frequencies increases, the latter decreases and thus becomes negligible. The increasing stability results reveal that ill-posedness of the inverse problems can be overcome by using multi-frequency data. The method is based on integral equations and analytical continuation, and requires the Dirichlet data only. The analysis employs asymptotic expansions of Green's tensors and the transparent boundary conditions by using the Dirichlet-to-Neumann maps. In addition, for the first time, the stability is established on the inverse source problems for both the Navier and Maxwell equations.

研究动机与目标

• 建立弹性波和电磁波方程中反源问题的唯一性和稳定性。
• 利用多频数据，为纳维（弹性）方程和麦克斯韦（电磁）方程建立统一的递增稳定性理论。
• 通过利用高频数据克服反源问题的不适定性，降低重建误差。
• 仅需狄利克雷边界数据，避免对法向量数据或对源的限制性假设的需求。
• 将多频稳定性结果从标量亥姆霍兹方程推广至具有复杂结构的矢量波方程。

提出的方法

• 利用纳维方程和麦克斯韦方程的基本解（格林张量）导出的积分方程。
• 应用解析延拓技术，将解从低频扩展到高频，利用波场的解析性。
• 在频域中对格林张量进行渐近展开，以分离低频与高频分量。
• 通过狄利克雷到诺伊曼映射引入透明边界条件，以在有界域中建模辐射条件。
• 在球面和平面边界上应用傅里叶分析，以表征索伯列夫范数和迹空间。
• 提出一种新颖的稳定性估计，结合Lipschitz型数据偏差与随上界频率增加而衰减的高频尾部，其受上限频率控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过多频数据在弹性波和电磁波的反源问题中建立递增稳定性？
• RQ2 源函数的高频尾部如何影响重建误差，能否使其可忽略？
• RQ3 是否可能仅使用狄利克雷边界数据实现稳定性，而无需法向量数据？
• RQ4 能否在弹性与电磁学的矢量波方程中统一使用相同的数学框架？
• RQ5 多频数据在多大程度上降低了矢量波系统中反源问题的不适定性？

主要发现

• 在弹性（纳维）和电磁（麦克斯韦）波方程中，反源问题的唯一性和稳定性得到了严格建立。
• 本文证明了一项新颖的递增稳定性估计：随着上限频率的增加，源函数的高频尾部衰减，从而降低重建误差。
• 该稳定性估计由Lipschitz型数据偏差与随频率带宽增加而减小的高频尾部组成。
• 该方法仅需狄利克雷边界数据，不同于以往需要同时使用狄利克雷和法向量数据的研究。
• 该分析基于格林张量的渐近展开与解析延拓，从而推导出稳定性界。
• 这是首项在纳维和麦克斯韦方程中利用多频数据建立反源问题稳定性的研究。