[论文解读] Stability of Fractional-Order Systems with Rational Orders

Ivo Petráš|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2008

Advanced Control Systems Design参考文献 61被引用 66

一句话总结

本文通过时域和频域分析，为具有有理数阶的分数阶线性与非线性系统建立了通用的稳定性条件。基于复平面上特征值的位置，推导出渐近稳定性的必要与充分条件，表明稳定性由特征值的幅角相对于分数阶阈值的关系决定，关键结果适用于同类与非同类系统，包括蔡氏混沌系统等混沌系统。

ABSTRACT

This paper deals with stability of a certain class of fractional order linear and nonlinear systems. The stability is investigated in the time domain and the frequency domain. The general stability conditions and several illustrative examples are presented as well.

研究动机与目标

• 为具有有理数阶的分数阶线性与非线性系统建立通用的稳定性条件。
• 在时域与频域框架下分析稳定性。
• 基于特征值分布推导渐近稳定性的必要与充分条件。
• 将稳定性分析扩展至导数阶次不同的非同类系统。
• 提供检测分数阶系统中混沌行为的实用准则，例如双-scroll吸引子。

提出的方法

• 使用Caputo定义的分数阶导数，以确保微分方程中初始条件的一致性。
• 对分数阶导数应用拉普拉斯变换，零初始条件下得到 s^r F(s)。
• 通过复平面上雅可比矩阵的特征值分析推导稳定性条件。
• 对于同类系统，若所有特征值 λ 满足 |arg(λ)| > qπ/2，则系统稳定。
• 对于非同类系统，稳定性由 det(diag(λ^{m q_i}) - J) = 0 的根决定，其中 γ = 1/m，要求 |arg(λ)| > γπ/2。
• 采用Mittag-Leffler函数和幂律衰减（t^{-α}）来表征长记忆行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有理数阶的分数阶线性系统渐近稳定的必要与充分条件是什么？
• RQ2 同类与非同类分数阶系统之间的稳定性准则有何不同？
• RQ3 非线性分数阶系统表现出混沌行为时，其特征值需满足何种条件？
• RQ4 能否通过特征值分析对蔡氏等分数阶混沌系统进行解析稳定性验证？
• RQ5 系统生成双-scroll吸引子所需的最小分数阶是多少？

主要发现

• 对于同类分数阶系统，若雅可比矩阵的所有特征值 λ 满足 |arg(λ)| > qπ/2，则实现渐近稳定。
• 对于非同类系统，稳定性由 det(diag(λ^{m q_i}) - J) = 0 的根决定，其中 γ = 1/m，要求 |arg(λ)| > γπ/2。
• 阶次为 0.8、1.0 和 0.9 的蔡氏系统表现出双-scroll吸引子，由不稳定特征值 λ₁,₂ = 1.2928 ± 0.2032j 确认，其 |arg(λ)| = 0.1560。
• 蔡氏系统混沌存在的必要条件为 q > (2/π) atan(|β|/α)，该条件在给定参数下成立。
• 数值仿真证实，在初始条件为 (−9, −5, 14) 的情况下，30 秒内存在三维双-scroll吸引子。
• 分数阶系统的稳定性行为表现为幂律衰减 t^{-α}，而非指数衰减，表明具有长记忆动力学特性。